Цел на услугата. Услугата е предназначена за преобразуване на числа от една бройна система в друга онлайн. За да направите това, изберете базата на системата, от която искате да конвертирате числото. Можете да въвеждате както цели числа, така и числа със запетаи.

Можете да въвеждате както цели числа, например 34, така и дробни числа, например 637.333. За дробни числа се посочва точността на превод след десетичната запетая.

Следните също се използват с този калкулатор:

Начини за представяне на числа

Двоичен (двоични) числа - всяка цифра означава стойността на един бит (0 или 1), най-значимият бит винаги се записва отляво, буквата "b" се поставя след числото. За по-лесно възприемане тетрадките могат да бъдат разделени с интервали. Например 1010 0101b.
Шестнадесетичен (шестнадесетични) числа - всяка тетрада е представена от един символ 0...9, A, B, ..., F. Това представяне може да бъде обозначено по различни начини, тук само символът "h" се използва след последния шестнадесетичен знак цифра. Например A5h. В програмните текстове едно и също число може да бъде обозначено като 0xA5 или 0A5h, в зависимост от синтаксиса на езика за програмиране. Водеща нула (0) се добавя отляво на най-значимата шестнадесетична цифра, представена от буквата, за да се прави разлика между числа и символни имена.
десетична (десетични) числа - всеки байт (дума, двойна дума) е представен от редовно число, а знакът за десетично представяне (буквата “d”) обикновено се пропуска. Байтът в предишните примери има десетична стойност 165. За разлика от двоичната и шестнадесетичната нотация, десетичната е трудна за мислено определяне на стойността на всеки бит, което понякога е необходимо.
осмичен (осмични) числа - всяка тройка от битове (делението започва от най-малко значимото) се записва като число 0–7, с „о“ в края. Същото число ще бъде записано като 245o. Осмичната система е неудобна, защото байтовете не могат да бъдат разделени по равно.

Алгоритъм за преобразуване на числа от една бройна система в друга

Преобразуването на цели десетични числа във всяка друга бройна система се извършва чрез разделяне на числото на основата на новата бройна система, докато остатъкът остане число, по-малко от основата на новата бройна система. Новото число се записва като остатъци от деление, започвайки от последното.
Преобразуването на обикновена десетична дроб в друга PSS се извършва чрез умножаване само на дробната част на числото по основата на новата бройна система, докато всички нули останат в дробната част или докато се постигне определената точност на превода. В резултат на всяка операция на умножение се образува една цифра от ново число, като се започне от най-високото.
Неправилният превод на дроби се извършва съгласно правила 1 и 2. Цялата и дробната част се пишат заедно, разделени със запетая.

Пример №1.



Преобразуване от 2 до 8 към 16 бройна система.
Тези системи са кратни на две, следователно преводът се извършва с помощта на таблица за съответствие (вижте по-долу).

За да преобразувате число от двоична бройна система в осмична (шестнадесетична) бройна система, е необходимо двоичното число да се раздели от десетичната запетая отдясно и отляво на групи от три (четири за шестнадесетични) цифри, допълвайки външните групи с нули, ако е необходимо. Всяка група се заменя със съответната осмична или шестнадесетична цифра.

Пример №2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
тук 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

Когато преобразувате в шестнадесетичната система, трябва да разделите числото на части от четири цифри, като следвате същите правила.
Пример №3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
тук 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

Преобразуването на числа от 2, 8 и 16 в десетичната бройна система става чрез разделяне на числото на отделни и умножаването му по основата на системата (от която се превежда числото), повдигната на степен, съответстваща на поредния му номер в номерът се преобразува. В този случай числата се номерират отляво на десетичната запетая (първото число е номерирано с 0) с нарастване и отдясно с намаляване (т.е. с отрицателен знак). Получените резултати се сумират.

Пример №4.
Пример за преобразуване от двоична в десетична бройна система.

1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Пример за преобразуване от осмична в десетична бройна система. 108,5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Пример за преобразуване от шестнадесетична в десетична бройна система. 108,5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10

Още веднъж повтаряме алгоритъма за преобразуване на числа от една бройна система в друга PSS

1. От десетичната бройна система:
   • разделяне на числото на основата на числовата система, която се превежда;
   • намиране на остатъка при деление на цяла част от число;
   • запишете всички остатъци от делението в обратен ред;
2. От двоичната бройна система
   • За преобразуване в десетичната бройна система е необходимо да се намери сумата от произведенията на основа 2 по съответната степен на цифрата;
   • За да преобразувате число в осмично, трябва да разделите числото на триади.
     Например 1000110 = 1000 110 = 106 8
   • За да преобразувате число от двоично в шестнадесетично, трябва да разделите числото на групи от 4 цифри.
     Например 1000110 = 100 0110 = 46 16

Системата се нарича позиционна, за които значението или тежестта на цифрата зависи от нейното местоположение в числото. Връзката между системите е представена в таблица.
Таблица за съответствие на бройната система:

Двоичен SS	Шестнадесетичен SS
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	А
1011	б
1100	° С
1101	д
1110	д
1111	Е

Таблица за преобразуване в осмична бройна система

Пример №2. Преобразувайте числото 100,12 от десетичната бройна система в осмичната бройна система и обратно. Обяснете причините за несъответствията.
Решение.
Етап 1. .

Записваме остатъка от делението в обратен ред. Получаваме числото в 8-ма бройна система: 144
100 = 144 8

За да преобразуваме дробната част на число, ние последователно умножаваме дробната част по основа 8. В резултат на това всеки път записваме цялата част от продукта.
0,12*8 = 0,96 (цяла част 0 )
0,96*8 = 7,68 (цяла част 7 )
0,68*8 = 5,44 (цяло число 5 )
0,44*8 = 3,52 (цяло число 3 )
Получаваме числото в 8-ма бройна система: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

Етап 2. Преобразуване на число от десетична бройна система в осмична бройна система.
Обратно преобразуване от осмична бройна система в десетична.

За да преведете цяла част, трябва да умножите цифрата на числото по съответната степен на цифрата.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

За да преобразувате дробната част, трябва да разделите цифрата на числото на съответната степен на цифрата
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
Разликата от 0,0001 (100,12 - 100,1199) се обяснява с грешка при закръгляване при преобразуване към осмичната бройна система. Тази грешка може да бъде намалена, ако вземете по-голям брой цифри (например не 4, а 8).

Събирането и изваждането на числа във всяка позиционна бройна система се извършва побитово. За да се намери сумата, се събират единици от една и съща цифра, като се започне с единиците от първата цифра (вдясно). Ако сумата от единици на добавената цифра надвишава числото, равно на основата на системата, тогава от тази сума се избира единицата на най-високата цифра, която се добавя към съседната цифра отляво. Следователно събирането може да се извърши директно, както в десетичната система, в „колона“, като се използва таблица за събиране на едноцифрени числа.

Например в бройна система с основа 4 таблицата за добавяне изглежда така:

Още по-проста е таблицата за добавяне в двоичната бройна система:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 1 = 10.

Пример:

ИзважданеИзпълняваме го по същия начин, както в десетичната система: подписваме субтрахенда под умаляваното и изваждаме числата в цифри, започвайки от първото. Ако изваждането на единици в цифра не е възможно, ние „заемаме“ 1 в най-високата цифра и я преобразуваме в единиците на съседната дясна цифра.

Пример: 2311 4 - 1223 4 . В първата цифра 3 не може да се извади от 1; ние „заемаме“ единица от втората цифра; тя съдържа четири единици от първата цифра. Добавяме към тях съществуващата единица на първата цифра, общо получаваме пет единици в първата цифра - в кватернерната система те се записват като 11. В първата цифра изваждаме три единици от пет единици: 11-3=2. Във втората категория няма останали единици, ние заемаме третата (в третата ще останат 2 единици). Една единица от трета категория съдържа 4 единици от втора. Извадете втората цифра: 4-2 = 2. В третата цифра: 2-2=0. В четвъртата цифра: 2-1=1.

Аритметични действия в двоичната бройна система

Правилата за извършване на аритметични операции с двоични числа се определят от таблиците за събиране, изваждане и умножение.

Правилото за извършване на операцията за добавяне е еднакво за всички бройни системи: ако сумата от добавените цифри е по-голяма или равна на основата на бройната система, тогава единицата се прехвърля към следващата цифра отляво. При изваждане, ако е необходимо, направете заем.

Аритметичните операции се извършват по подобен начин в осмична, шестнадесетична и други бройни системи. Необходимо е да се има предвид, че сумата на прехвърляне към следващата цифра при добавяне и заемане от най-високата цифра при изваждане се определя от стойността на основата на числовата система.

Аритметични действия в осмичната бройна система

За представяне на числата в осмичната бройна система се използват осем цифри (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), тъй като основата на осмичната бройна система е 8. Всички операции се извършват с помощта на тези осем цифри. Операциите за събиране и умножение в осмичната бройна система се извършват с помощта на следните таблици:

Таблици за събиране и умножение в осмичната бройна система

Пример 5.Извадете осмичните числа 5153-1671 и 2426.63- 1706.71

Пример 6. Умножение на осмични числа 51 16 и 16,6 3,2

Аритметични действия в шестнадесетична бройна система

За представяне на числата в шестнадесетичната бройна система се използват шестнадесет цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. В шестнадесетичната система , числото шестнадесет се записва като 10. Извършването на аритметични действия в шестнадесетичната система е същото като в десетичната система, но при извършване на аритметични операции с големи числа е необходимо да се използват таблици за събиране и умножение на числата в шестнадесетичната бройна система.

Таблица за събиране в шестнадесетична бройна система

Таблица за умножение в шестнадесетична бройна система

Пример 7. Събиране на шестнадесетични числа

Забележка:
Можете да извършвате действия само в една бройна система; ако са ви дадени различни бройни системи, първо преобразувайте всички числа в една бройна система
Ако работите с бройна система, чиято основа е по-голяма от 10 и имате буква във вашия пример, мислено я заменете с число в десетичната система, извършете необходимите операции и преобразувайте резултата обратно в оригиналната бройна система

Допълнение:
Всеки си спомня как в началното училище ни учеха да добавяме в колона, място по място. Ако при добавяне на цифра се получи число, по-голямо от 9, от него изваждаме 10, полученият резултат се записва в отговора и 1 се добавя към следващата цифра. От това можем да формулираме правило:

1. По-удобно е да се сгъва в „колона“
2. Събирайки място по място, ако цифрата в мястото > е по-голяма от най-голямата цифра от азбуката на дадена бройна система, изваждаме основата на бройната система от това число.
3. Записваме резултата в необходимата категория
4. Добавете единица към следващата цифра

Пример:

Съберете 1001001110 и 100111101 в двоична бройна система

1001001110

100111101

1110001011

Отговор: 1110001011

Добавете F3B и 5A в шестнадесетичен запис

FE0

Отговор: FE0

изваждане: Всеки си спомня как в началното училище ни учеха да изваждаме по колона, стойност на място от стойност на място. Ако при изваждане в цифра се получи число, по-малко от 0, тогава ние „взехме назаем“ едно от най-високата цифра и добавихме 10 към желаната цифра и извадихме необходимото от новото число. От това можем да формулираме правило:

1. По-удобно е да изваждате в „колона“
2. Изваждане по места, ако цифрата е на мястото си< 0, вычитаем из старшего разряда 1, а к нужному разряду прибавляем основание системы счисления.
3. Извършваме изваждане

Пример:

Извадете числото 100111101 от 1001001110 в двоична бройна система

1001001110

100111101

100010001

Отговор: 100010001

Извадете 5A от F3B в шестнадесетичен запис

D96

Отговор: D96

Най-важното е, че не забравяйте, че имате на ваше разположение само числа от дадена бройна система, а също така не забравяйте за преходите между цифровите термини.
Умножение:

Умножението в други бройни системи се извършва точно по същия начин, както сме свикнали да умножаваме.

1. По-удобно е да се умножава в „колона“
2. Умножението във всяка бройна система следва същите правила като в десетичната система. Но можем да използваме само азбуката, дадена системамъртво разчитане

Пример:

Умножете 10111 по 1101 в двоична бройна система

10111

1101

10111

10111

10111

100101011

Отговор: 100101011

Умножете F3B по числото A в шестнадесетичен запис

F3B

984E

Отговор: 984E

Отговор: 984E

Най-важното е, че не забравяйте, че имате на ваше разположение само числа от дадена бройна система, а също така не забравяйте за преходите между цифровите термини.

дивизия:

Разделянето в други бройни системи се извършва точно по същия начин, както сме свикнали да разделяме.

1. По-удобно е да се раздели в "колона"
2. Делението във всяка бройна система следва същите правила като в десетичната система. Но можем да използваме само азбуката, дадена от числовата система

Пример:

Разделете 1011011 на 1101 в двоична бройна система

Разделям Е 3 B за номер 8 в шестнадесетична бройна система

Най-важното е, че не забравяйте, че имате на ваше разположение само числа от дадена бройна система, а също така не забравяйте за преходите между цифровите термини.

НЕПОЗИЦИОНЕН

Непозиционни бройни системи

Непозиционните бройни системи се появяват исторически първи. В тези системи значението на всеки цифров знак е постоянно и не зависи от неговата позиция. Най-простият случай на непозиционна система е системата от единици, за която се използва един символ за обозначаване на числа, обикновено черта, понякога точка, от които винаги се поставя количеството, съответстващо на определеното число:

• 1 - |
• 2 - ||
• 3 - ||| и т.н.

Така че този един знак има значение единици, от което чрез последователно събиране се получава търсеното число:

||||| = 1+1+1+1+1 = 5.

Разновидност на мерната система е системата с основа, в която има символи не само за означаване на единицата, но и за степените на основата. Например, ако числото 5 се вземе като основа, тогава ще има допълнителни символи, които да обозначават 5, 25, 125 и т.н.

Пример за такава система с база 10 е древноегипетската, възникнала през втората половина на третото хилядолетие пр.н.е. Тази система имаше следните йероглифи:

• полюсни единици,
• дъга - десетки,
• палмови листа - стотици,
• лотосов цвят - хиляди.

Числата се получават чрез просто събиране, редът може да бъде произволен. Така че, за да се обозначи например числото 3815, бяха нарисувани три лотосови цветя, осем палмови листа, една дъга и пет стълба. По-сложни системи с допълнителни знаци - старогръцки, римски. Римският също използва елемент от позиционната система - добавя се по-голямо число пред по-малко, по-малко пред по-голямо се изважда: IV = 4, но VI = 6, този метод обаче се използва изключително за означаване на числата 4, 9, 40, 90, 400, 900, 4000 и техните производни чрез събиране.

Съвременната гръцка и древноруската системи използват 27 букви от азбуката като числа, където обозначават всяко число от 1 до 9, както и десетки и стотици. Този подход направи възможно записването на числа от 1 до 999 без повтаряне на числа.

В старата руска система за обозначаване на големи числа са използвани специални рамки около числата.

Непозиционната система за номериране все още се използва почти навсякъде като словесна система за номериране. Системите за вербално номериране са тясно свързани с езика и техните общи елементи се отнасят главно до общите принципи и имена на големи числа (трилион и повече). Общите принципи, залегнали в основата на съвременните словесни номерации, включват образуването на обозначения чрез добавяне и умножаване на значенията на уникалните имена.

| Компютърни науки и информационни и комуникационни технологии | Планиране на урока и материали за урока | 10 клас | Планиране на уроци за учебната година (FSES) | Аритметични операции в позиционни бройни системи

Урок 15
§12. Аритметични операции в позиционни бройни системи

Аритметични операции в позиционни бройни системи

Аритметични действия в позиционни бройни системи с основа рсе извършват по правила, подобни на действащите в десетичната бройна система.

В началното училище таблиците за събиране и умножение се използват, за да научат децата да смятат. Подобни таблици могат да бъдат съставени за всяка позиционна бройна система.

12.1. Събиране на числата в бройната система с основа q

Обмислете примери за таблици за добавяне в троична (Таблица 3.2), осмична (Таблица 3.4) и шестнадесетична (Таблица 3.3) бройни системи.

Таблица 3.2

Събиране в троична бройна система

Таблица 3.3

Събиране в шестнадесетична бройна система

Таблица 3.4

Събиране в осмична бройна система

рвземете сумата Сдве числа АИ б, трябва да сумирате цифрите, които ги образуват по цифри азот дясно на ляво:

Ако a i + b i< q, то s i = a i + b i , старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
ако a i + b i ≥ q, тогава s i = a i + b i - q, най-значимата (i + 1)-та цифра се увеличава с 1.

Примери:

12.2. Изваждане на числата в бройната система с основа q

Така че в бройна система с основа рвземете разликата Рдве числа АИ IN, е необходимо да се изчислят разликите между цифрите, образуващи ги по цифри азот дясно на ляво:

Ако a i ≥ b i, тогава r i = a i - b i, най-значимата (i + 1)-та цифра не се променя;
ако i< b i , то r i = a i - b i + g, старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1 (выполняется заём в старшем разряде).