Provádění aritmetických operací v pozičních číselných soustavách. Číselné soustavy: teorie

Číselné soustavy

číselný systém - soubor technik a pravidel pro psaní čísel digitální postavy nebo symboly.

Všechny číselné soustavy lze rozdělit do dvou tříd: poziční A nepoziční. Ve třídě polohových systémů pro zápis čísel v různé systémyČísla používají řadu různých znaků. Počet takových znaků v poziční číselné soustavě se nazývá základ číselné soustavy. Níže je tabulka obsahující názvy některých polohových číselných soustav a seznam znaků (číslic), ze kterých se v nich tvoří čísla.

Některé číselné soustavy

Základna	Notový zápis	Známky
	Binární	0,1
	Trojice	0, 1, 2
	Kvartérní	0, 1, 2, 3
	Pětinásobný	0, 1, 2, 3, 4
	Osmičková	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
	Desetinný	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
	duodecimální	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B
	Hexadecimální	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

V poziční číselné soustavě je relativní pozici číslice v čísle přiřazen váhový faktor a číslo lze reprezentovat jako součet součinů koeficientů odpovídající mocninou základu číselné soustavy (váhový faktor ):

A n А n–1 A n–2 ...A 1 A 0 , A –1 A –2 ... =

A n B n + A n-1 B n-1 + ... + A 1 B 1 + A 0 B 0 + A –1 B –1 + A –2 B –2 + ...

(znak „,“ odděluje celočíselnou část čísla od zlomkové části. Význam každého znaménka v čísle tedy závisí na pozici, kterou znaménko zaujímá v číselném záznamu. Proto se takové číselné soustavy nazývají poziční ).

Poziční číselný systém je systém, ve kterém je velikost čísla určena hodnotami v něm obsažených číslic a jejich relativní pozicí v čísle.

23,45 10 = 2 ⋅ 10 1 + 3 ⋅ 10 0 + 4 ⋅ 10 –1 + 5 ⋅ 10 –2 .

Desetinný index ve spodní části označuje základ číselné soustavy.

692 10 = 6 ⋅ 10 2 + 9 ⋅ 10 1 + 2 ⋅ 10 0 ;

1101 2 = 1 ⋅ 2 3 + 1 ⋅ 2 2 + 0 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 13 10 ;

112 3 = 1 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ 3 1 + 2 ⋅ 3 0 = 14 10 ;

341,5 8 = 3 ⋅ 8 2 + 4 ⋅ 8 1 + 1 ⋅ 8 0 + 5 ⋅ 8 –1 = 225,125 10 ;

A1F,4 16 = A ⋅ 16 2 + 1 ⋅ 16 1 + F ⋅ 16 0 + 4 ⋅ 16 –1 = 2591,625 10.

Při práci s počítači musíte paralelně používat více pozičních číselných soustav (nejčastěji dvojkové, desítkové, osmičkové a šestnáctkové), proto mají postupy převodu čísel z jedné číselné soustavy do druhé velký praktický význam. Všimněte si, že ve všech výše uvedených příkladech je výsledkem dekadické číslo, a tak byl již demonstrován způsob převodu čísel z libovolné poziční číselné soustavy do desítkové.

Obecně platí, že chcete-li převést celočíselnou část čísla z desítkové soustavy do základní soustavy B, musíte ji vydělit B. Zbytek poskytne nejméně významnou číslici čísla. Výsledný podíl je třeba opět vydělit B - zbytek dá další číslici čísla atd. Dělení pokračuje, dokud nebude podíl menší než základna. Hodnoty výsledných zbytků v opačném pořadí tvoří požadované binární číslo.

Příklad překladu celé části: Převeďte 25 10 na binární číslo.

25 / 2 = 12 se zbytkem 1,

12 / 2 = 6 se zbytkem 0,

6 /2 = 3 se zbytkem 0,

Celé a zlomkové části jsou přeloženy samostatně. Pro převod zlomkové části je třeba ji vynásobit B. Celočíselná část výsledného součinu bude první číslice (za desetinnou čárkou oddělující celočíselnou část od zlomkové části). Zlomková část součinu se musí znovu vynásobit B. Celočíselná část výsledného čísla bude další znaménko atd.

Chcete-li převést zlomkovou část (nebo číslo, které má celá čísla „0“), musíte je vynásobit 2. Celá část součinu bude první číslicí čísla v binární soustavě. Poté, když zahodíme celočíselnou část výsledku, vynásobíme znovu 2 atd. Všimněte si, že konečný desetinný zlomek se může stát nekonečným (periodickým) binárním zlomkem.

Příklad převodu zlomkové části: Převeďte 0,73 10 na binární číslo.

0,73 ⋅ 2 = 1,46 (celé číslo část 1),

0,46 ⋅ 2 = 0,92 (celé číslo část 0),

0,92 ⋅ 2 = 1,84 (celé číslo část 1),

0,84 ⋅ 2 = 1,68 (celé číslo část 1) atd.

Tedy: 0,73 10 = 0,1011 2.

S čísly zapsanými v libovolné číselné soustavě lze provádět různé aritmetické operace. Aritmetické operace ve všech polohových číselných soustavách se provádějí podle stejných pravidel, která jsou vám dobře známá.

Zvažte přidání dvou čísel k základu deset:

Při sčítání čísel 6 a 7 lze výsledek vyjádřit jako výraz 10 + 3, kde 10 je úplný základ pro desítkovou číselnou soustavu. Nahraďte 10 (základ) 1 a dosaďte nalevo od čísla 3. Dostaneme:

6 10 + 7 10 = 13 10 .

Zvažte přidání dvou základních osmi čísel:

Při sčítání čísel 6 a 7 lze výsledek vyjádřit jako výraz 8 + 5, kde 8 je úplný základ osmičkové číselné soustavy. Nahraďte 8 (základ) 1 a dosaďte nalevo od čísla 5. Dostaneme:

6 8 + 7 8 = 15 8 .

Zvažte přidání dvou vysoká čísla od základny osm:

Sčítání začíná od nejméně významné číslice. 4 8 + 6 8 tedy reprezentujeme jako 8 (základ) + 2. Nahraďte 8 (základ) 1 a přidejte tuto jednotku k číslicím vyššího řádu. Dále sečteme následující číslice: 5 8 + 3 8 + 1 8, znázorněte jako 8 + 1, 8 (základ) nahradíme 1 a přidáme k nejvyšší platné číslici. Dále znázorníme 2 8 + 7 8 + 1 8 jako 8 (základ) + 2, 8 (základ) nahradíme 1 a dosadíme ji nalevo od výsledného čísla (na pozici nejvýznamnější číslice). Tak se ukazuje:

254 8 + 736 8 = 1212 8 .

276 8 + 231 8 = 527 8 ,

4A77 16 + BF4 16 = 566B 16,

1100110 2 + 1100111 2 = 11001101 2 .

Ostatní aritmetické operace (odčítání, násobení a dělení) se provádějí obdobně v různých číselných soustavách.

Uvažujme násobení ve „sloupci“ na příkladu dvou čísel binárního systému:

11101 2 101 2

Čísla zapisujeme pod sebe, v souladu s hodnostmi. Poté provedeme bitové násobení druhého faktoru prvním a zapíšeme jej s posunem doleva, stejně jako při násobení desetinných čísel. Zbývá přidat „posunutá“ čísla s přihlédnutím k základně čísel, v tomto případě binární.

Převedeme výsledek na základ 16.

Ve druhé číslici představujeme 29 jako 16 (základ) a 13 (D). Nahradíme 16 (základ) 1 a přičteme ji k nejvýznamnější číslici.

Ve třetí číslici 96 + 1 = 97. Pak si představte 97 jako 6 16 (základ) a 1. Přidejte 6 k nejvyšší číslici.

Ve čtvrté číslici je 20 + 6 = 26. Představme si 26 jako 16 (základ) a 10 (A). Jednotku přesuneme na nejvyšší číslici.

S určitými dovednostmi v práci s různými číselnými soustavami si lze vstup okamžitě představit jako

		A
		B	B
	A		D

Tedy A31 16 29 16 = 1A1D9 16.

527 8 – 276 8 = 231 8 ,

566B 16 – 4A77 16 = BF4 16,

11001101 2 – 1100110 2 = 1100111 2 ,

276 8 231 8 = 70616 8,

4A77 16 BF4 16 = 37A166C 16,

1100110 2 · 1100111 2 = 10100100001010 2.

Z hlediska studia principů reprezentace a zpracování informací v počítači jsou probírané systémy (dvojkové, osmičkové a hexadecimální) velmi zajímavé, ačkoliv počítač zpracovává pouze data převedená do binárního kódu (dvojková číselná soustava). Často však za účelem snížení počtu znaků napsaných na papíře nebo zadávaných z klávesnice počítače je vhodnější používat osmičková nebo šestnáctková čísla, zejména proto, že, jak bude ukázáno níže, postup vzájemného převodu čísel z každého z tyto systémy do binárního systému je velmi jednoduché - mnohem jednodušší než překlady mezi kterýmkoli z těchto tří systémů a desítkovou soustavou.

Představme si čísla různých číselných soustav, které si navzájem odpovídají:

Desetinný	Hexadecimální	Osmičková	Binární
	A
	B
	C
	D
	E
	F

Tabulka ukazuje, že čísla systému se základem 2, 8 a 16 mají periodické vzory. Osm hodnot osmičkové soustavy, tedy (od 0 do 7 nebo úplného základu), tedy odpovídá třem číslicím ( triády) binární systém. K popisu čísel jedné číslice osmičkové soustavy jsou tedy zapotřebí přesně tři číslice dvojkové soustavy. Totéž platí pro hexadecimální čísla. Pouze jejich popis vyžaduje přesně čtyři číslice ( tetrády) binární systém.

Z toho vyplývá, že chcete-li převést libovolné celé binární číslo na osmičkové, musíte je rozdělit zprava doleva do skupin po 3 číslicích (skupina zcela vlevo může obsahovat méně než tři binární číslice) a poté přiřadit každé skupině její osmičkový ekvivalent.

Například potřebujete převést 11011001 2 na osmičkové.

Číslo rozdělíme do skupin po třech číslicích 011 2, 011 2 a 001 2. Dosadíme odpovídající čísla osmičkové soustavy. Dostaneme 3 8, 3 8 a 1 8 nebo 331 8.

11011001 2 = 331 8 .

Reverzní převody se provádějí podobně, například:

Převeďte AB5D 16 na binární číselnou soustavu.

Jeden po druhém nahradíme každý symbol čísla AB5D 16 odpovídajícím číslem z dvojkové soustavy. Získáme 1010 16, 1011 16, 0101 16 a 1101 16 nebo 1010101101011101 2.

AB5D16 = 10101011010111012.

Kromě pozičních číselných soustav diskutovaných výše existují i ​​takové, ve kterých význam znaku nezávisí na místě, které v čísle zaujímá. Takové číselné soustavy se nazývají nepoziční. Nejznámějším příkladem nepolohového systému je římský. Tento systém používá 7 znaků (I, V, X, L, C, D, M), které odpovídají následujícím hodnotám:

Pravidla pro psaní čísel římskými číslicemi: – je-li větší číslo před menším, pak se sčítají (princip sčítání), – je-li menší číslo před větším, odečítá se menší od většího (tj. princip odčítání).

Druhé pravidlo se používá k tomu, aby se stejné číslo neopakovalo čtyřikrát. Římské číslice I, X, C jsou tedy umístěny před X, C, M pro označení 9, 90, 900 nebo před V, L, D pro označení 4, 40, 400.

Příklady zápisu čísel římskými číslicemi:

IV = 5 - 1 = 4 (místo IIII),

XIX = 10 + 10 - 1 = 19 (místo XVIIII),

XL = 50 - 10 = 40 (místo XXXX),

XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33 atd.

Je třeba poznamenat, že provádění i jednoduchých aritmetických operací na víceciferných číslech pomocí římských číslic je velmi nepohodlné. Složitost výpočtů v římském systému, založených na použití latinských písmen, byla pravděpodobně jedním z přesvědčivých důvodů pro jeho nahrazení vhodnější desítkovou soustavou.

3.1 Základ číselné soustavy se nazývá...

Soubor technik a pravidel pro psaní čísel v digitálních znacích nebo symbolech

Počet číslic použitých v konkrétní poziční číselné soustavě

Dělitel používaný při převodu čísel z jedné číselné soustavy do druhé

Celkový multiplikátor, při převodu čísel z jedné číselné soustavy do druhé

3.2 Která číselná soustava se ve výpočetní technice příliš nepoužívá

Osmičková

Binární

Pětinásobný

Hexadecimální

Aritmetické operace ve všech polohových číselných soustavách se provádějí podle stejných pravidel. Pro provádění aritmetických operací s čísly zastoupenými v různých číselných soustavách je nutné je nejprve převést do jedné číselné soustavy a vzít v úvahu skutečnost, že převod na další číslici při sčítání a výpůjčka z nejvyšší číslice během sčítání operace odečítání jsou určeny hodnotou základu číselné soustavy.

Aritmetické operace v binární číselné soustavě jsou založeny na tabulkách sčítání, odčítání a násobení jednociferných binárních čísel.

Při sčítání dvou jednotek číslice přeteče a jednotka se převede na nejvyšší číslici při odečtení 0–1 se provede výpůjčka od nejvyšší číslice v tabulce „Odečtení“, tato půjčka je označena 1 s čarou; číslo (tabulka 3).

Tabulka 3

Níže jsou uvedeny příklady provádění aritmetických operací s čísly reprezentovanými v různých číselných soustavách:

Aritmetické operace s celými čísly zastoupenými v různých číselných soustavách se poměrně jednoduše realizují pomocí programů Kalkulačka a MS Excel.

1.3. Reprezentace čísel v počítači

Číselná data jsou zpracovávána v počítači pomocí binární číselné soustavy. Čísla jsou uložena v paměti počítače v binárním kódu, tedy jako posloupnost nul a jedniček, a mohou být reprezentována ve formátu s pevnou nebo pohyblivou řádovou čárkou.

Celá čísla jsou uložena v paměti ve formátu s pevnou řádovou čárkou. U tohoto formátu pro reprezentaci čísel je pro ukládání nezáporných celých čísel alokován paměťový registr sestávající z osmi paměťových buněk (8 bitů). Každá číslice paměťové buňky vždy odpovídá stejné číslici čísla a čárka je umístěna vpravo za nejméně významnou číslicí a mimo mřížku číslic. Například číslo 110011012 by bylo uloženo v paměťovém registru následovně:

Tabulka 4

Maximální hodnotu nezáporného celého čísla, které lze uložit do registru ve formátu s pevnou řádovou čárkou, lze určit ze vzorce: 2n – 1, kde n je počet číslic čísla. Maximální počet se bude rovnat 28 - 1 = 25510 = 111111112 a minimální 010 = 000000002. Rozsah změn nezáporných celých čísel bude tedy od 0 do 25510.

Na rozdíl od desítkové soustavy nemá binární číselná soustava v počítačové reprezentaci binárního čísla symboly označující znaménko čísla: kladné (+) nebo záporné (-), proto, aby reprezentovaly celá čísla se znaménkem v binární soustavě, dvě používají se formáty reprezentace čísel: formát číselné hodnoty se znaménkem a formát dvojkového doplňku. V prvním případě jsou dva paměťové registry (16 bitů) alokovány pro ukládání celých čísel se znaménkem a nejvýznamnější číslice (zcela vlevo) se používá jako znaménko čísla: pokud je číslo kladné, pak se do bitu znaménka zapíše 0. , pokud je číslo záporné, pak 1. Například číslo 53610 = 00000010000110002 bude v paměťových registrech zastoupeno v následujícím tvaru:

Tabulka 5

a záporné číslo -53610 = 10000010000110002 ve tvaru:

Tabulka 6

Maximální kladné číslo nebo minimální záporné číslo ve formátu hodnoty čísla se znaménkem (s přihlédnutím k zastoupení jedné číslice na znaménko) je 2n-1 – 1 = 216-1 – 1 = 215 – 1 = 3276710 = 1111111111111112 a rozsah čísel bude od - 3276710 do 32767.

Nejčastěji se pro reprezentaci celých čísel se znaménkem v binární soustavě používá formát kódu komplementu dvojky, který umožňuje nahradit aritmetickou operaci odčítání v počítači operací sčítání, což výrazně zjednodušuje strukturu mikroprocesoru a zvyšuje jeho výkon. .

K reprezentaci záporných celých čísel v tomto formátu se používá kód doplňku dvojky, což je modul záporného čísla k nule. Převod záporného celého čísla na dvojkový doplněk se provádí pomocí následujících operací:

1) zapište modul čísla v přímém kódu v n (n = 16) binárních číslicích;

2) získat obrácený kód čísla (převrátit všechny číslice čísla, tj. nahradit všechny jedničky nulami a nuly jedničkami);

3) k výslednému reverznímu kódu přidejte jednu k nejméně významné číslici.

Například pro číslo -53610 v tomto formátu bude modul 00000010000110002, reciproční kód bude 1111110111100111 a doplňkový kód bude 1111110111101000.

Je třeba si uvědomit, že doplňkem kladného čísla je samotné číslo.

Chcete-li při použití ukládat celá čísla se znaménkem jiná než 16bitová počítačová reprezentace dva paměťové registry(tento formát čísel se také nazývá krátký celočíselný formát se znaménkem), používají se střední a dlouhé celočíselné formáty se znaménkem. Pro reprezentaci čísel ve formátu středních čísel se používají čtyři registry (4 x 8 = 32 bitů) a pro reprezentaci čísel ve formátu dlouhých čísel se používá osm registrů (8 x 8 = 64 bitů). Rozsahy hodnot pro formát středních a dlouhých čísel budou: -(231 – 1) ... + 231 – 1 a -(263-1) ... + 263 – 1.

Počítačová reprezentace čísel ve formátu pevných bodů má své výhody i nevýhody. NA výhod zahrnují jednoduchost reprezentace čísel a algoritmy pro provádění aritmetických operací, nevýhodou je omezený rozsah reprezentace čísel, který může být nedostatečný pro řešení mnoha problémů praktického charakteru (matematických, ekonomických, fyzikálních atd.).

Reálná čísla (konečná a nekonečná desetinná místa) jsou zpracována a uložena v počítači ve formátu s plovoucí desetinnou čárkou. S tímto formátem reprezentace čísel se pozice desetinné čárky v položce může změnit. Jakékoli reálné číslo K ve formátu s plovoucí desetinnou čárkou může být reprezentováno jako:

kde A je mantisa čísla; h – základ číselné soustavy; p – číselné pořadí.

Výraz (2.7) pro desítkovou číselnou soustavu bude mít tvar:

pro binární -

pro osmičkový -

pro hexadecimální -

Tato forma reprezentace čísel se také nazývá normální . Se změnou pořadí se čárka v čísle posouvá, to znamená, že jakoby plave doleva nebo doprava. Proto se nazývá normální forma reprezentace čísel forma s plovoucí desetinnou čárkou. Desetinné číslo 15,5, například, ve formátu s plovoucí desetinnou čárkou může být reprezentováno jako: 0,155 102; 1,55 101; 15,5 100; 155,0 10-1; 1550.0 10-2 atd. Tato forma desetinné čárky s plovoucí desetinnou čárkou 15,5 se při zápisu nepoužívá počítačové programy a jejich zadávání do počítače (vstupní zařízení počítače vnímají pouze lineární záznam dat). Na základě toho je výraz (2.7) pro znázornění desetinných čísel a jejich zadávání do počítače převeden do tvaru

kde P je pořadí čísel,

tj. místo základu číselné soustavy 10 píší písmeno E, místo čárky tečku a znaménko násobení se nedává. Tedy číslo 15,5 v plovoucí řádové čárce a lineárním formátu (počítačová reprezentace) bude zapsáno jako: 0,155E2; 1,55E1; 15,5E0; 155,0E-1; 1550,0E-2 atd.

Bez ohledu na číselnou soustavu může být jakékoli číslo ve formě s pohyblivou řádovou čárkou reprezentováno nekonečným počtem čísel. Tato forma záznamu se nazývá nenormalizované . Pro jednoznačnou reprezentaci čísel s pohyblivou řádovou čárkou se používá normalizovaná forma zápisu čísla, ve které mantisa čísla musí splňovat podmínku

kde |A| - absolutní hodnota mantisy čísla.

Podmínka (2.9) znamená, že mantisa musí být řádný zlomek a mít za desetinnou čárkou nenulovou číslici, nebo jinými slovy, pokud mantisa nemá za desetinnou čárkou nulu, pak se číslo nazývá normalizované. . Takže číslo 15,5 v normalizovaném tvaru (normalizovaná mantisa) v plovoucí řádové čárce bude vypadat takto: 0,155 102, tj. normalizovaná mantisa bude A = 0,155 a řádu P = 2, nebo v počítačové reprezentaci čísla 0,155E2 .

Čísla s pohyblivou řádovou čárkou mají pevný formát a zabírají čtyři (32 bitů) nebo osm bajtů (64 bitů) paměti počítače. Pokud číslo zabírá 32 bitů v paměti počítače, pak je to číslo s běžnou přesností, pokud je 64 bitů, pak je to číslo s dvojnásobnou přesností. Při zápisu čísla s plovoucí desetinnou čárkou se přidělují bity pro uložení znaménka mantisy, znaménka exponentu, mantisy a exponentu. Počet číslic přidělených pořadí čísla určuje rozsah variace čísel a počet číslic přidělených k uložení mantisy určuje přesnost, se kterou je číslo specifikováno.

Při provádění aritmetických operací (sčítání a odčítání) na číslech prezentovaných ve formátu s plovoucí desetinnou čárkou je implementován následující postup (algoritmus):

1) pořadí čísel, se kterými se provádějí aritmetické operace, je zarovnáno (řád menšího absolutního čísla se zvětšuje na řád většího absolutního čísla, zatímco mantisa se o stejnou hodnotu zmenšuje);

2) aritmetické operace se provádějí na mantisách čísel;

3) získaný výsledek je normalizován.

Sčítání a odčítání

V soustavě se základem se čísla 0, 1, 2, ..., c - 1 používají k označení nuly a prvních c-1 přirozených čísel Pro provedení operace sčítání a odčítání se sestaví tabulka pro přidání jednociferných čísel.

Tabulka 1 - Sčítání ve dvojkové soustavě

Například sčítací tabulka v hexadecimální číselné soustavě:

Tabulka 2 - Sčítání v šestnáctkové soustavě

Sčítání libovolných dvou čísel zapsaných v číselné soustavě se základem c se provádí stejně jako v desítkové soustavě po číslicích, počínaje první číslicí, pomocí sčítací tabulky této soustavy. Přidávaná čísla jsou podepsána jedno po druhém, takže číslice stejných číslic jsou svislé. Výsledek sčítání se zapisuje pod vodorovnou čáru nakreslenou pod sčítanými čísly. Stejně jako při sčítání čísel v desítkové soustavě, i v případě, kdy sčítáním číslic v libovolné číslici vznikne dvoumístné číslo, zapíše se jako výsledek poslední číslice tohoto čísla a první číslice se přičte k výsledku sčítání. další číslice.

Například,

Zadané pravidlo pro sčítání čísel můžete zdůvodnit pomocí reprezentace čísel ve tvaru:

Podívejme se na jeden příklad:

3547=3*72+5*71+4*70

2637=2*72+6*71+3*70

(3*72+5*71+4*70) + (2*72+6*71+3*70) =(3+2)*72+(5+6)*7+(3+4)=

5*72+1*72+4*7+7=6*72+4*7+7=6*72+5*7+0=6507

Postupně vybíráme členy podle mocniny základu 7, počínaje nejnižší, nulovou, mocninou.

Odečítání se také provádí číslicemi, počínaje od nejnižšího, a pokud je číslice minuendu menší než číslice subtrahendu, pak se jednotka „vezme“ z další číslice minuendu a odpovídající číslice subtrahendu. se odečte od výsledného dvouciferného čísla; při odečítání číslic další číslice musíte v tomto případě mentálně snížit číslici, která se snižuje o jednu, ale pokud se ukáže, že tato číslice je nula (a pak to není možné snížit), měli byste si „vypůjčit“ jednu z další číslici a poté snížit o jednu. Není potřeba vytvářet speciální tabulku pro odčítání, protože sčítací tabulka dává výsledky odčítání.

Například,

Násobení a dělení

Pro provádění operací násobení a dělení v systému se základním c je sestavena násobilka pro jednociferná čísla.

Tabulka 3 - Násobení jednociferných čísel

Tabulka 4 - Násobení v hexadecimální číselné soustavě

Násobení dvou libovolných čísel v soustavě se základem c se provádí stejným způsobem jako v desítkové soustavě - „sloupec“, to znamená, že násobitel se násobí číslicí každé číslice násobiče (postupně) s následným přidání těchto mezivýsledků.

Například,

Při násobení víceciferných čísel v mezivýsledcích není základní index umístěn:

Dělení v soustavách se základem c se provádí úhlem, stejně jako v desítkové číselné soustavě. V tomto případě se použije tabulka násobení a tabulka sčítání odpovídajícího systému. Situace je složitější, pokud výsledkem dělení není konečný c-ární zlomek (nebo celé číslo). Při provádění operace dělení je pak obvykle nutné izolovat neperiodickou část zlomku a jeho periodu. Schopnost provádět operace dělení v c-ární číselné soustavě je užitečná při převodu zlomkových čísel z jedné číselné soustavy do druhé.

Například:

Převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé

Je jich mnoho různými způsoby převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé.

Metoda dělení

Nechť je dáno číslo N=an an-1. . . a1 a0 r.

Abychom získali záznam čísla N v soustavě se základem h, mělo by být reprezentováno ve tvaru:

N=bmhm+bm-1hm-1+... +b1h+b0 (1)

kde 1

N=bmbm-1... b1boh (2)

Z (1) dostáváme:

N= (bmhm-1+...+b)*h +b0 = N1h+b0, kde je 0? b0 ?h (3)

To znamená, že číslo b0 je zbytek po dělení čísla N číslem h. Parciální kvocient Nl = bmhm-1+ . . . +b1 může být reprezentováno jako:

Nl = (bmhm-2 + ... + b2)h + b1 = N2h+b1, kde je 0? b2 ? h (4)

Číslice bi v záznamu (2) čísla N je tedy zbytkem dělení prvního neúplného kvocientu N1 základem h nové číselné soustavy. Druhý neúplný kvocient N2 reprezentujeme ve tvaru:

N2 = (bmhm-3+ ... +b3)h+b2, kde je 0? b2 ? h (5)

to znamená, že číslo b2 je zbytkem dělení druhého neúplného kvocientu N2 bází h nového systému. Protože se nekompletní podíly snižují, je tento proces konečný. A pak dostaneme Nm = bm, kde bm

Nm-1 = bmh+bm.1 = Nmh+bm.1

Posloupnost čísel je tedy bm, bm-1. . ,b1,b0 v zápisu čísla N v číselné soustavě se základem h je posloupnost zbytků sekvenčního dělení čísla N základem h, braných v obráceném pořadí.

Podívejme se na příklad: Převeďte číslo 123 na hexadecimální číselnou soustavu:

Tedy číslo 12310=7(11)16 nebo může být zapsáno jako 7B16

Zapišme číslo 340227 v kvinární číselné soustavě:

Dostaneme tedy, že 340227=2333315

Podívejme se na základní aritmetické operace: sčítání, odčítání, násobení a dělení. Pravidla pro provádění těchto operací v desítkové soustavě jsou známá – jedná se o sčítání, odčítání, násobení sloupcem a dělení úhlem. Tato pravidla platí pro všechny ostatní poziční číselné soustavy. Pro každý systém stačí použít speciální sčítací a násobící tabulky.

1. Doplnění

Sčítací tabulky lze snadno vytvořit pomocí pravidel počítání.

Při sčítání se čísla sečtou po číslicích a pokud je přebytek, přenese se doleva.

Příklad 1 Sečtěte čísla 15 a 6 v různých číselných soustavách.

Příklad 2 Sečteme čísla 15, 7 a 3.

Hexadecimální : Ž 16 + 7 16 + 3 16

15+7+3 = 25 10 = 11001 2 = 31 8 = 19 16 . Zkouška: 11001 2 = 2 4 + 2 3 + 2 0 = 16+8+1=25, 31 8 = 3 . 8 1 + 1 . 8 0 = 24 + 1 = 25, 19 16 = 1 . 16 1 + 9 . 16 0 = 16+9 = 25.

Příklad 3 Sečteme čísla 141,5 a 59,75.

Odpověď: 141,5 + 59,75 = 201,25 10 = 11001001,01 2 = 311,2 8 = C9,4 16

Zkouška. Výsledné částky převeďte do desetinného tvaru:

11001001,01 2 = 2 7 + 2 6 + 2 3 + 2 0 + 2 -2 = 201,25

311,2 8 = 3 . 8 2 + 1 . 8 1 + 1 . 8 0 + 2 . 8 -1 = 201,25

C9,416 = 12 . 16 1 + 9 . 16 0 + 4 . 16 -1 = 201,25

2. Odečítání

Odčítání v binární číselné soustavě minend subtrahend 0 1 0 1 půjčka	Odčítání v šestnáctkové soustavě 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Zapůjčení jednotky z vyšší hodnosti
Odčítání v osmičkové soustavě 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7

Půjčkastarší jednotky

Příklad 4. Odečtěte jedničku od čísel 10 2 , 10 8 a 10 16

Příklad 5. Odečtěte jedničku od čísel 100 2 , 100 8 a 100 16 .

Příklad 6. Odečtěte číslo 59,75 od čísla 201,25.

Odpověď: 201,25 10 - 59,75 10 = 141,5 10 = 10001101,1 2 = 215,4 8 = 8D,8 16.

Zkouška. Převedeme výsledné rozdíly do desítkové podoby:

10001101,1 2 = 2 7 + 2 3 + 2 2 + 2 0 + 2 -1 = 141,5;

215,4 8 = 2 . 8 2 + 1 . 8 1 + 5 . 8 0 + 4 . 8 -1 = 141,5;

8D,816 = 8 . 16 1 + D . 16 0 + 8 . 16 -1 = 141,5.