Účel služby. Služba je navržena tak, aby převáděla čísla z jednoho číselného systému do druhého online. Chcete-li to provést, vyberte základ systému, ze kterého chcete číslo převést. Můžete zadat jak celá čísla, tak čísla s čárkami.

Můžete zadat jak celá čísla, například 34, tak zlomková čísla, například 637.333. U zlomkových čísel je uvedena přesnost překladu za desetinnou čárkou.

S touto kalkulačkou se také používají následující:

Způsoby reprezentace čísel

Binární (binární) čísla - každá číslice znamená hodnotu jednoho bitu (0 nebo 1), nejvýznamnější bit se píše vždy vlevo, za číslem se umísťuje písmeno „b“. Pro snadnější vnímání lze sešity oddělit mezerami. Například 1010 0101b.
Hexadecimální (hexadecimální) čísla - každá tetráda je reprezentována jedním symbolem 0...9, A, B, ..., F. Toto znázornění lze označit různými způsoby, zde se používá pouze symbol „h“ za posledním hexadecimálním číslem číslice. Například A5h. V programových textech může být stejné číslo označeno buď jako 0xA5 nebo 0A5h, v závislosti na syntaxi programovacího jazyka. Nalevo od nejvýznamnější hexadecimální číslice reprezentované písmenem se přidá úvodní nula (0), aby bylo možné rozlišit čísla a symbolické názvy.
Desetinný (desetinná) čísla - každý bajt (slovo, dvojslovo) je reprezentován běžným číslem a znak desetinného zobrazení (písmeno „d“) se obvykle vynechává. Bajt v předchozích příkladech má desítkovou hodnotu 165. Na rozdíl od binárního a hexadecimálního zápisu je u desítkové soustavy obtížné mentálně určit hodnotu každého bitu, což je někdy nutné.
Osmičková (osmičková) čísla - každá trojice bitů (dělení začíná od nejméně významného) se zapisuje jako číslo 0–7 s „o“ na konci. Stejné číslo by bylo zapsáno jako 245o. Osmičková soustava je nepohodlná, protože bajt nelze rovnoměrně rozdělit.

Algoritmus pro převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé

Převod celých desetinných čísel na jakoukoli jinou číselnou soustavu se provádí dělením čísla základem nové číselné soustavy, dokud zbytek nezůstane číslem menším, než je základ nové číselné soustavy. Nové číslo se zapíše jako zbytek po dělení, počínaje posledním.
Převod běžného desetinného zlomku na jiný PSS se provádí násobením pouze zlomkové části čísla základem nové číselné soustavy, dokud všechny nuly nezůstanou ve zlomkové části nebo dokud není dosaženo zadané přesnosti překladu. V důsledku každé operace násobení se vytvoří jedna číslice nového čísla, počínaje nejvyšším.
Nesprávný překlad zlomků se provádí podle pravidel 1 a 2. Celá a zlomková část se píší dohromady, oddělené čárkou.

Příklad č. 1.



Převod z 2 na 8 na 16 číselný systém.
Tyto systémy jsou násobky dvou, proto se překlad provádí pomocí korespondenční tabulky (viz níže).

Pro převod čísla z dvojkové číselné soustavy do osmičkové (šestnáctkové) číselné soustavy je nutné rozdělit dvojkové číslo z desetinné čárky doprava a doleva do skupin po třech (u šestnáctkové soustavy čtyř) a doplnit tak vnější skupiny. v případě potřeby s nulami. Každá skupina je nahrazena odpovídající osmičkovou nebo hexadecimální číslicí.

Příklad č. 2. 1010111010,1011 = 1,010,111,010,101,1 = 1272,51 8
zde 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101 = 5; 001=1

Při převodu do šestnáctkové soustavy musíte číslo rozdělit na části po čtyřech číslicích podle stejných pravidel.
Příklad č. 3. 1010111010,1011 = 10,1011,1010,1011 = 2B12,13 HEX
zde 0010=2; 1011=B; 1010 = 12; 1011=13

Převod čísel z 2, 8 a 16 do desítkové soustavy se provádí rozdělením čísla na jednotlivá a vynásobením základem soustavy (ze kterého se číslo překládá) umocněnou na mocninu odpovídající jeho pořadovému číslu v převáděné číslo. V tomto případě jsou čísla číslována nalevo od desetinné čárky (první číslo je číslováno 0) s rostoucím a napravo s klesajícím (tj. se záporným znaménkem). Získané výsledky se sečtou.

Příklad č. 4.
Příklad převodu z dvojkové do desítkové číselné soustavy.

1010010,101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 12-3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Příklad převodu z osmičkové na desítkovou číselnou soustavu. 108,5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Příklad převodu z šestnáctkové do desítkové číselné soustavy. 108,5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10

Ještě jednou zopakujeme algoritmus pro převod čísel z jedné číselné soustavy do jiné PSS

1. Ze soustavy desítkových čísel:
   • vydělte číslo základem překládaného číselného systému;
   • najít zbytek při dělení celé části čísla;
   • zapište všechny zbytky z dělení v opačném pořadí;
2. Z dvojkové číselné soustavy
   • Pro převod do desítkové číselné soustavy je nutné najít součet součinů základu 2 odpovídajícím stupněm číslice;
   • Chcete-li převést číslo na osmičkovou, musíte číslo rozdělit na trojice.
     Například 1000110 = 1 000 110 = 106 8
   • Chcete-li převést číslo z binárního na hexadecimální, musíte číslo rozdělit do skupin po 4 číslicích.
     Například 1000110 = 100 0110 = 46 16

Systém se nazývá polohový, u nichž význam nebo váha číslice závisí na jejím umístění v čísle. Vztah mezi systémy je vyjádřen v tabulce.
Srovnávací tabulka číselného systému:

Binární SS	Hexadecimální SS
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

Tabulka pro převod do osmičkové číselné soustavy

Příklad č. 2. Převeďte číslo 100,12 z desítkové číselné soustavy do osmičkové soustavy a naopak. Vysvětlete důvody nesrovnalostí.
Řešení.
Fáze 1. .

Zbytek dělení zapíšeme v obráceném pořadí. Dostaneme číslo v 8. číselné soustavě: 144
100 = 144 8

Pro převod zlomkové části čísla postupně vynásobíme zlomkovou část základem 8. Výsledkem je, že pokaždé zapíšeme celou část součinu.
0,12*8 = 0,96 (celočíselná část 0 )
0,96*8 = 7,68 (celočíselná část 7 )
0,68*8 = 5,44 (celočíselná část 5 )
0,44*8 = 3,52 (celočíselná část 3 )
Dostaneme číslo v 8. číselné soustavě: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

Fáze 2. Převod čísla z desítkové číselné soustavy do osmičkové soustavy.
Reverzní převod z osmičkové číselné soustavy na desítkovou.

Chcete-li přeložit část celého čísla, musíte vynásobit číslici čísla odpovídajícím stupněm číslice.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

Chcete-li převést zlomkovou část, musíte vydělit číslici čísla odpovídajícím stupněm číslice
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
Rozdíl 0,0001 (100,12 - 100,1199) je vysvětlen chybou zaokrouhlení při převodu do osmičkové číselné soustavy. Tuto chybu lze snížit, pokud vezmete větší počet číslic (například ne 4, ale 8).

Sčítání a odčítání čísel v libovolné poziční číselné soustavě se provádí bitově. Pro nalezení součtu se sčítají jednotky stejné číslice, počínaje jednotkami první číslice (vpravo). Pokud součet jednotek sčítané číslice přesáhne číslo rovné základu soustavy, pak se z tohoto součtu vybere jednotka nejvyšší číslice, která se přičte k sousední číslici vlevo. Proto lze sčítání provádět přímo, jako v desítkové soustavě, do „sloupce“ pomocí tabulky pro sčítání jednociferných čísel.

Například v základním 4 číselném systému vypadá sčítací tabulka takto:

Ještě jednodušší je sčítací tabulka v binární číselné soustavě:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 1 = 10.

Příklad:

Odčítání Provádíme to stejným způsobem jako v desítkové soustavě: podepíšeme subtrahend pod minuend a odečteme čísla v číslicích, počínaje prvním. Pokud není možné jedničky v číslici odečíst, „obsadíme“ 1 v nejvyšší číslici a převedeme ji na jednotky sousední pravé číslice.

Příklad: 2311 4 - 1223 4 . V první číslici nelze 3 odečíst od 1, „obsadíme“ jednotku druhé číslice, ta obsahuje čtyři jednotky první číslice. Přidáme k nim stávající jednotku první číslice, celkem dostaneme pět jednotek první číslice - v kvartérní soustavě se píší jako 11. V první číslici odečteme tři jednotky od pěti jednotek: 11-3=2. Ve druhé kategorii nezbyly jednotky, obsazujeme třetí (ve třetí zbudou 2 jednotky). Jednotka třetí kategorie obsahuje 4 jednotky druhé kategorie. Odečtěte druhou číslici: 4-2 = 2. Ve třetí číslici: 2-2=0. Ve čtvrté číslici: 2-1=1.

Aritmetické operace v binární číselné soustavě

Pravidla pro provádění aritmetických operací s binárními čísly jsou specifikována tabulkami sčítání, odčítání a násobení.

Pravidlo pro provádění operace sčítání je stejné pro všechny číselné soustavy: pokud je součet sčítaných číslic větší nebo roven základu číselné soustavy, pak se jednotka převede na další číslici vlevo. Při odečtení v případě potřeby proveďte půjčku.

Aritmetické operace se provádějí podobně v osmičkové, šestnáctkové a dalších číselných soustavách. Je třeba počítat s tím, že výše převodu na další číslici při sčítání a půjčování od nejvyšší číslice při odečítání je určena hodnotou základu číselné soustavy.

Aritmetické operace v osmičkové číselné soustavě

Pro znázornění čísel v osmičkovém číselném systému se používá osm číslic (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), protože základ osmičkové číselné soustavy je 8. Všechny operace se provádějí pomocí těchto osmi číslic. Operace sčítání a násobení v osmičkové soustavě se provádějí pomocí následujících tabulek:

Tabulky sčítání a násobení v osmičkové číselné soustavě

Příklad 5.Odečtěte osmičková čísla 5153- 1671 a 2426,63- 1706,71

Příklad 6. Vynásobte osmičkovými čísly 51 16 a 16,6 3,2

Aritmetické operace v hexadecimální číselné soustavě

Pro znázornění čísel v šestnáctkové soustavě se používá šestnáct číslic: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. V šestnáctkové soustavě , číslo šestnáct se píše jako 10. Provádění aritmetických operací v šestnáctkové soustavě je stejné jako v desítkové soustavě, ale při provádění aritmetických operací na velkých číslech je nutné používat tabulky pro sčítání a násobení čísel v šestnáctkové soustavě.

Sčítací tabulka v hexadecimální číselné soustavě

Tabulka násobení v hexadecimální číselné soustavě

Příklad 7. Sečtěte hexadecimální čísla

Poznámka:
Akce můžete provádět pouze v jedné číselné soustavě, pokud máte různé číselné soustavy, nejprve všechna čísla převeďte do jedné číselné soustavy
Pokud pracujete s číselnou soustavou, jejíž základ je větší než 10 a máte ve svém příkladu písmeno, v duchu jej nahraďte číslem v desítkové soustavě, proveďte potřebné operace a převeďte výsledek zpět do původní číselné soustavy.

Přidání:
Každý si pamatuje, jak nás na základní škole učili sčítat ve sloupci místo po místě. Pokud při sčítání číslice vyšlo číslo větší než 9, odečetli jsme od něj 10, výsledný výsledek se zapsal do odpovědi a k ​​další číslici se přidala 1. Z toho můžeme formulovat pravidlo:

1. Je pohodlnější skládat do „sloupce“
2. Sčítání po místě, pokud je číslice v místě > větší než největší číslice abecedy dané číselné soustavy, odečteme od tohoto čísla základ číselné soustavy.
3. Výsledek zapíšeme do požadované kategorie
4. Přidejte jednu k další číslici

Příklad:

Přidejte 1001001110 a 100111101 v binární číselné soustavě

1001001110

100111101

1110001011

Odpověď: 1110001011

Přidejte F3B a 5A v hexadecimálním zápisu

FE0

Odpověď: FE0

Odčítání: Každý si pamatuje, jak nás na základní škole učili odečítat po sloupci, místo hodnoty od hodnoty místa. Pokud při odečítání v číslici bylo získáno číslo menší než 0, pak jsme si „vypůjčili“ jedno od nejvyšší číslice a přidali 10 k požadované číslici a odečetli požadované číslo od nového čísla. Z toho můžeme formulovat pravidlo:

1. Je pohodlnější odečítat ve „sloupci“
2. Odečítání po místě, pokud je číslice na místě< 0, вычитаем из старшего разряда 1, а к нужному разряду прибавляем основание системы счисления.
3. Provádíme odečítání

Příklad:

Odečtěte číslo 100111101 od 1001001110 v binární číselné soustavě

1001001110

100111101

100010001

Odpověď: 100010001

Odečtěte 5A od F3B v hexadecimálním zápisu

D96

Odpověď: D96

Hlavně nezapomeňte, že máte k dispozici pouze čísla dané číselné soustavy a také nezapomeňte na přechody mezi cifernými členy.
Násobení:

Násobení v jiných číselných soustavách probíhá úplně stejně, jako jsme na násobení zvyklí.

1. Je pohodlnější násobit ve „sloupci“
2. Násobení v libovolné číselné soustavě se řídí stejnými pravidly jako v desítkové soustavě. Ale můžeme použít pouze abecedu, daný systém mrtvé zúčtování

Příklad:

Vynásobte 10111 x 1101 v binární číselné soustavě

10111

1101

10111

10111

10111

100101011

Odpověď: 100101011

Vynásobte F3B číslem A v hexadecimálním zápisu

F3B

984E

Odpověď: 984E

Odpověď: 984E

Hlavně nezapomeňte, že máte k dispozici pouze čísla dané číselné soustavy a také nezapomeňte na přechody mezi cifernými členy.

Divize:

Dělení v jiných číselných soustavách probíhá úplně stejně, jako jsme na dělení zvyklí.

1. Je výhodnější rozdělit do „sloupce“
2. Dělení v libovolné číselné soustavě se řídí stejnými pravidly jako v desítkové soustavě. Můžeme ale použít pouze abecedu danou číselnou soustavou

Příklad:

Vydělte 1011011 číslem 1101 v binární číselné soustavě

Rozdělit F 3 B pro číslo 8 v hexadecimální číselné soustavě

Hlavně nezapomeňte, že máte k dispozici pouze čísla dané číselné soustavy a také nezapomeňte na přechody mezi cifernými členy.

NEPOZIČNÍ

Nepoziční číselné soustavy

Nepoziční číselné soustavy se objevily historicky jako první. V těchto systémech je význam každého digitálního znaku konstantní a nezávisí na jeho poloze. Nejjednodušším případem nepoziční soustavy je soustava jednotek, pro kterou se k označení čísel používá jeden symbol, obvykle čárka, někdy tečka, z nichž je vždy umístěna veličina odpovídající určenému číslu:

• 1 - |
• 2 - ||
• 3 - ||| atd.

Takže tato jedna postava má význam Jednotky, ze kterého se postupným přidáváním získá požadovaný počet:

||||| = 1+1+1+1+1 = 5.

Modifikací soustavy jednotek je soustava se základnou, ve které jsou symboly nejen pro označení jednotky, ale i pro stupně základny. Pokud je například jako základ použito číslo 5, budou zde další symboly pro označení 5, 25, 125 atd.

Příkladem takového systému se základnou 10 je staroegyptský, který vznikl v druhé polovině třetího tisíciletí před naším letopočtem. Tento systém měl následující hieroglyfy:

• pólové jednotky,
• oblouk - desítky,
• palmový list - stovky,
• lotosový květ - tisíce.

Čísla byla získána jednoduchým sčítáním, pořadí mohlo být libovolné. Takže pro označení například čísla 3815 byly nakresleny tři lotosové květy, osm palmových listů, jeden oblouk a pět tyčí. Složitější systémy s doplňkovými znaky - starořecký, římský. Římský také využívá prvek pozičního systému - větší číslo před menším se sčítá, menší před větším se odečítá: IV = 4, ale VI = 6, tato metoda však se používá výhradně k označení čísel 4, 9, 40, 90, 400 , 900, 4000 a jejich odvozenin sčítáním.

Moderní řecké a starověké ruské systémy používaly jako čísla 27 písmen abecedy, kde označovaly každé číslo od 1 do 9, stejně jako desítky a stovky. Tento přístup umožnil psát čísla od 1 do 999 bez opakování čísel.

Ve starém ruském systému se k označení velkých čísel používaly speciální rámečky kolem čísel.

Nepoziční systém číslování se stále používá téměř všude jako slovní systém číslování. Verbální číslovací systémy jsou silně svázány s jazykem a jejich společné prvky se týkají především obecných principů a názvů velkých čísel (bilionů a výše). Obecné principy, které jsou základem moderního slovního číslování, zahrnují tvorbu označení pomocí sčítání a násobení významů jedinečných jmen.

| Počítačová věda a informační a komunikační technologie | Plánování lekce a učební materiály | 10. třída | Plánování lekcí na akademický rok (FSES) | Aritmetické operace v pozičních číselných soustavách

Lekce 15
§12. Aritmetické operace v pozičních číselných soustavách

Aritmetické operace v pozičních číselných soustavách

Aritmetické operace v pozičních číselných soustavách se základem q se provádějí podle pravidel podobných pravidlům platným v desítkové soustavě čísel.

Na základní škole se používají tabulky sčítání a násobení, aby se děti naučily počítat. Podobné tabulky lze sestavit pro jakoukoli poziční číselnou soustavu.

12.1. Sčítání čísel v číselné soustavě se základem q

Zvažte příklady sčítacích tabulek v ternárních (Tabulka 3.2), osmičkových (Tabulka 3.4) a hexadecimálních (Tabulka 3.3) číselných soustavách.

Tabulka 3.2

Sčítání v ternární číselné soustavě

Tabulka 3.3

Sčítání v šestnáctkové soustavě

Tabulka 3.4

Sčítání v osmičkové soustavě

q získat částku S dvě čísla A A B, musíte sečíst číslice, které je tvoří, číslicemi i zprava doleva:

Pokud a i + b i< q, то s i = a i + b i , старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
pokud a i + b i ≥ q, pak s i = a i + b i - q, nejvýznamnější (i + 1) číslice se zvýší o 1.

Příklady:

12.2. Odečítání čísel v základní q číselné soustavě

Tedy v číselné soustavě se základem q získat rozdíl R dvě čísla A A V, je nutné vypočítat rozdíly mezi číslicemi, které je tvoří číslicemi i zprava doleva:

Jestliže a i ≥ b i, pak r i = a i - b i, nejvýznamnější (i + 1) číslice se nemění;
pokud i< b i , то r i = a i - b i + g, старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1 (выполняется заём в старшем разряде).