Palvelun tarkoitus. Palvelu on suunniteltu muuntamaan numeroita numerojärjestelmästä toiseen verkossa. Voit tehdä tämän valitsemalla sen järjestelmän perustan, josta haluat muuntaa numeron. Voit syöttää sekä kokonaislukuja että lukuja pilkuilla.

Voit syöttää sekä kokonaislukuja, esimerkiksi 34, että murtolukuja, esimerkiksi 637,333. Murtolukujen käännöstarkkuus ilmoitetaan desimaalipilkun jälkeen.

Tämän laskimen kanssa käytetään myös seuraavia:

Tapoja esittää numeroita

Binääri (binääriset) numerot - jokainen numero tarkoittaa yhden bitin arvoa (0 tai 1), merkitsevin bitti kirjoitetaan aina vasemmalle, kirjain "b" sijoitetaan numeron jälkeen. Havainnoinnin helpottamiseksi muistikirjat voidaan erottaa välilyönnillä. Esimerkiksi 1010 0101b.
Heksadesimaali (heksadesimaaliluvut) - jokaista tetradia edustaa yksi symboli 0...9, A, B, ..., F. Tämä esitys voidaan merkitä eri tavoin, tässä käytetään vain symbolia "h" viimeisen heksadesimaaliluvun jälkeen numero. Esimerkiksi A5h. Ohjelmateksteissä sama numero voi olla joko 0xA5 tai 0A5h ohjelmointikielen syntaksista riippuen. Etunolla (0) lisätään kirjaimen edustaman merkittävimmän heksadesimaaliluvun vasemmalle puolelle numeroiden ja symbolisten nimien erottamiseksi.
Desimaali (desimaali) numerot - jokainen tavu (sana, kaksoissana) esitetään tavallisella numerolla, ja desimaaliesitysmerkki (kirjain "d") jätetään yleensä pois. Edellisissä esimerkeissä tavun desimaaliarvo on 165. Toisin kuin binääri- ja heksadesimaalimerkintä, desimaalilla on vaikea määrittää jokaisen bitin arvoa mielessä, mikä on joskus välttämätöntä.
Octal (oktaaliluvut) - jokainen bittien kolmikko (jako alkaa vähiten merkitsevästä) kirjoitetaan numerona 0–7, jonka lopussa on "o". Sama luku kirjoitettaisiin 245o. Oktaalijärjestelmä on hankala, koska tavua ei voida jakaa tasan.

Algoritmi lukujen muuntamiseksi numerojärjestelmästä toiseen

Kokonaisten desimaalilukujen muuntaminen mille tahansa muulle lukujärjestelmälle suoritetaan jakamalla luku uuden numerojärjestelmän kannassa, kunnes jäännös jää uuden lukujärjestelmän kantaa pienemmäksi luvuksi. Uusi numero kirjoitetaan jakojäännöksinä, alkaen viimeisestä.
Säännöllisen desimaaliluvun muuntaminen toiseksi PSS:ksi suoritetaan kertomalla vain murto-osa luvusta uuden lukujärjestelmän kannassa, kunnes kaikki nollat ​​jäävät murto-osaan tai kunnes määritetty käännöstarkkuus saavutetaan. Jokaisen kertolaskuoperaation tuloksena muodostuu yksi numero uudesta numerosta alkaen suurimmasta.
Virheellinen murtolukumuunnos suoritetaan sääntöjen 1 ja 2 mukaisesti. Kokonais- ja murto-osat kirjoitetaan yhteen pilkulla erotettuina.

Esimerkki nro 1.



Muunnos numerojärjestelmästä 2 numeroon 8 numeroon 16.
Nämä järjestelmät ovat kahden kerrannaisia, joten käännös suoritetaan vastaavuustaulukon avulla (katso alla).

Lukujen muuntamiseksi binäärilukujärjestelmästä oktaalilukujärjestelmään (heksadesimaalilukujärjestelmäksi) on tarpeen jakaa binääriluku desimaalipilusta oikealle ja vasemmalle kolmen (heksadesimaalilukujärjestelmän osalta neljä) numeron ryhmiin, jotka täydentävät ulompia ryhmiä tarvittaessa nollalla. Jokainen ryhmä korvataan vastaavalla oktaali- tai heksadesimaalinumerolla.

Esimerkki nro 2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
tässä 001=1; 010 = 2; 111 = 7; 010 = 2; 101 = 5; 001=1

Kun muunnat heksadesimaalijärjestelmään, sinun on jaettava luku neljän numeron osiin samoja sääntöjä noudattaen.
Esimerkki nro 3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
tässä 0010=2; 1011=B; 1010 = 12; 1011=13

Lukujen muuntaminen luvuista 2, 8 ja 16 desimaalijärjestelmään suoritetaan jakamalla luku yksittäisiksi ja kertomalla se järjestelmän kantaluvulla (josta luku käännetään) korotettuna sen sarjanumeroa vastaavaan potenssiin muunnettava numero. Tässä tapauksessa luvut numeroidaan desimaalipilkun vasemmalle puolelle (ensimmäinen numero on 0) kasvaessa ja oikealle laskeva (eli negatiivinen merkki). Saadut tulokset lasketaan yhteen.

Esimerkki nro 4.
Esimerkki muuntamisesta binäärilukujärjestelmästä desimaalilukujärjestelmään.

1010010.101 2 = 1,2 6 +0,2 5 +1,2 4 +0,2 3 +0,2 2 +1,2 1 +0,2 0 + 1,2 -1 +0,2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Esimerkki muuntamisesta oktaalista desimaalilukujärjestelmään. 108,5 8 = 1*·8 2 +0,8 1 +8·8 0 + 5,8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Esimerkki muuntamisesta heksadesimaaliluvusta desimaalilukujärjestelmäksi. 108,5 16 = 1,16 2 +0,16 1 +8,16 0 + 5,16 -1 = 256 + 0 + 8 + 0,3125 = 264,3125 10

Toistamme jälleen algoritmin numeroiden muuntamiseksi yhdestä numerojärjestelmästä toiseen PSS:ään

1. Desimaalilukujärjestelmästä:
   • jaa luku käännettävän numerojärjestelmän pohjalla;
   • etsi jäännös, kun jaat luvun kokonaislukuosan;
   • kirjoita muistiin kaikki jaon jäännökset käänteisessä järjestyksessä;
2. Binäärilukujärjestelmästä
   • Desimaalilukujärjestelmään muuttamiseksi on tarpeen löytää kantaluvun 2 tulojen summa vastaavalla numeroasteella;
   • Jos haluat muuntaa luvun oktaaliksi, sinun on jaettava luku kolmikappaleiksi.
     Esimerkiksi 1000110 = 1000 110 = 106 8
   • Jos haluat muuntaa luvun binääristä heksadesimaaliksi, sinun on jaettava luku 4 numeron ryhmiin.
     Esimerkiksi 1000110 = 100 0110 = 46 16

Järjestelmää kutsutaan paikannusjärjestelmäksi, jossa numeron merkitys tai paino riippuu sen sijainnista numerossa. Järjestelmien välinen suhde ilmaistaan ​​taulukossa.
Numerojärjestelmän vastaavuustaulukko:

Binäärinen SS	Heksadesimaali SS
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

Taulukko oktaalilukujärjestelmään muuntamista varten

Esimerkki nro 2. Muunna luku 100.12 desimaalilukujärjestelmästä oktaalilukujärjestelmäksi ja päinvastoin. Selitä erojen syyt.
Ratkaisu.
Vaihe 1. .

Kirjoitamme jaon loppuosan käänteisessä järjestyksessä. Saamme numeron kahdeksannessa numerojärjestelmässä: 144
100 = 144 8

Muuntaaksesi luvun murto-osan, kerromme peräkkäin murto-osan luvulla 8. Tämän seurauksena joka kerta kirjoitamme koko tulon osan.
0,12*8 = 0,96 (kokonaislukuosa 0 )
0,96*8 = 7,68 (kokonaislukuosa 7 )
0,68*8 = 5,44 (kokonaislukuosa 5 )
0,44*8 = 3,52 (kokonaislukuosa 3 )
Saamme numeron 8. numerojärjestelmässä: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

Vaihe 2. Luvun muuntaminen desimaalilukujärjestelmästä oktaalilukujärjestelmään.
Käänteinen muunnos oktaalilukujärjestelmästä desimaaliksi.

Jos haluat kääntää kokonaislukuosan, sinun on kerrottava luvun numero vastaavalla numeron asteikolla.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

Murto-osan muuttamiseksi sinun on jaettava luvun numero vastaavalla numeron asteikolla
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
Ero 0,0001 (100,12 - 100,1199) selittyy pyöristysvirheellä muunnettaessa oktaalilukujärjestelmään. Tätä virhettä voidaan vähentää, jos otat suuremman määrän numeroita (esimerkiksi ei 4, vaan 8).

Lukujen yhteen- ja vähennyslasku missä tahansa paikkalukujärjestelmässä suoritetaan bittikohtaisesti. Summan selvittämiseksi lasketaan yhteen saman numeron yksiköt alkaen ensimmäisen numeron yksiköistä (oikealla). Jos lisätyn numeron yksikköjen summa ylittää järjestelmän kantaa vastaavan luvun, tästä summasta valitaan suurimman numeron yksikkö, joka lisätään vasemmalla olevaan viereiseen numeroon. Siksi lisääminen voidaan tehdä suoraan, kuten desimaalijärjestelmässä, "sarakkeessa" käyttämällä taulukkoa yksinumeroisten lukujen lisäämiseksi.

Esimerkiksi 4 perusnumerojärjestelmässä yhteenlaskutaulukko näyttää tältä:

Vielä yksinkertaisempi on summataulukko binäärilukujärjestelmässä:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 1 = 10.

Esimerkki:

Vähennyslasku Suoritamme sen samalla tavalla kuin desimaalijärjestelmässä: allekirjoitamme alaosan minuendin alle ja vähennämme numerot numeroina ensimmäisestä alkaen. Jos numeron ykkösten vähentäminen ei ole mahdollista, "varaamme" suurimman numeron ykkösen ja muunnamme sen viereisen oikean numeron yksiköiksi.

Esimerkki: 2311 4 - 1223 4 . Ensimmäisessä numerossa 3:a ei voida vähentää yhdestä; "varaamme" yksikön toisesta numerosta; se sisältää neljä yksikköä ensimmäisestä numerosta. Lisäämme niihin ensimmäisen numeron olemassa olevan yksikön, yhteensä saamme viisi yksikköä ensimmäiseen numeroon - kvaternaarijärjestelmässä ne kirjoitetaan 11:ksi. Ensimmäisessä numerossa vähennetään kolme yksikköä viidestä ykkösestä: 11-3=2. Toisessa kategoriassa ei ole yksiköitä jäljellä, olemme kolmannessa (kolmannessa on 2 yksikköä jäljellä). Kolmannen luokan yksikkö sisältää 4 toisen luokan yksikköä. Vähennä toisesta numerosta: 4-2 = 2. Kolmannessa numerossa: 2-2=0. Neljännessä numerossa: 2-1=1.

Aritmeettiset operaatiot binäärilukujärjestelmässä

Binäärilukujen aritmeettisten operaatioiden suorittamista koskevat säännöt määritellään yhteen-, vähennys- ja kertotaulukoilla.

Sääntö summausoperaation suorittamiseksi on sama kaikissa numerojärjestelmissä: jos lisättyjen numeroiden summa on suurempi tai yhtä suuri kuin numerojärjestelmän kanta, yksikkö siirretään seuraavaan vasemmalla olevaan numeroon. Kun vähennät, ota tarvittaessa laina.

Aritmeettiset operaatiot suoritetaan samalla tavalla oktaali-, heksadesimaali- ja muissa lukujärjestelmissä. On tarpeen ottaa huomioon, että seuraavaan numeroon siirrettävä määrä, kun lisätään ja lainataan korkeimmasta numerosta vähennyksen yhteydessä, määräytyy numerojärjestelmän kantaarvon perusteella.

Aritmeettiset operaatiot oktaalilukujärjestelmässä

Lukujen esittämiseen oktaalilukujärjestelmässä käytetään kahdeksaa numeroa (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), koska oktaalilukujärjestelmän kanta on 8. Kaikki toiminnot suoritetaan käyttämällä näitä kahdeksaa numeroa. Oktaalilukujärjestelmän yhteen- ja kertolaskuoperaatiot suoritetaan seuraavien taulukoiden avulla:

Yhteen- ja kertolaskutaulukot oktaalilukujärjestelmässä

Esimerkki 5.Vähennä oktaaliluvut 5153-1671 ja 2426,63-1706,71

Esimerkki 6. Kerro oktaaliluvut 51 16 ja 16,6 3,2

Aritmeettiset operaatiot heksadesimaalilukujärjestelmässä

Lukujen esittämiseen heksadesimaalijärjestelmässä käytetään kuuttatoista numeroa: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Heksadesimaalijärjestelmässä , numero kuusitoista kirjoitetaan 10:ksi. Aritmeettisten operaatioiden suorittaminen heksadesimaalijärjestelmässä on sama kuin desimaalijärjestelmässä, mutta suoritettaessa aritmeettisia operaatioita suurille luvuille on tarpeen käyttää taulukoita lukujen yhteen- ja kertomiseen heksadesimaalilukujärjestelmässä.

Summataulukko heksadesimaalilukujärjestelmässä

Kertotaulukko heksadesimaalilukujärjestelmässä

Esimerkki 7. Lisää heksadesimaalilukuja

Huomautus:
Voit suorittaa toimintoja vain yhdessä numerojärjestelmässä; jos sinulle annetaan eri lukujärjestelmiä, muunna ensin kaikki luvut yhdeksi numerojärjestelmäksi
Jos työskentelet lukujärjestelmän kanssa, jonka kantaluku on suurempi kuin 10 ja sinulla on kirjain esimerkissäsi, korvaa se henkisesti desimaalijärjestelmän numerolla, suorita tarvittavat toiminnot ja muunna tulos takaisin alkuperäiseen numerojärjestelmään

Lisäys:
Kaikki muistavat, kuinka ala-asteella meitä opetettiin lisäämään sarakkeeseen paikka kerrallaan. Jos numeroa summattaessa saatiin luku, joka on suurempi kuin 9, vähennettiin siitä 10, saatu tulos kirjoitettiin vastaukseen ja 1 lisättiin seuraavaan numeroon. Tästä voimme muotoilla säännön:

1. On helpompi taittaa "sarakkeeseen"
2. Paikka paikalta yhteenlaskettaessa, jos paikan > numero on suurempi kuin tietyn numerojärjestelmän aakkoston suurin numero, vähennetään tästä luvusta lukujärjestelmän kanta.
3. Kirjoitamme tuloksen vaadittuun kategoriaan
4. Lisää yksi seuraavaan numeroon

Esimerkki:

Lisää 1001001110 ja 100111101 binäärilukujärjestelmään

1001001110

100111101

1110001011

Vastaus: 1110001011

Lisää F3B ja 5A heksadesimaalimuodossa

FE0

Vastaus: FE0

Vähennyslasku: Kaikki muistavat, kuinka ala-asteella meitä opetettiin vähentämään sarakkeella paikkaarvo paikkaarvosta. Jos numerosta vähennettäessä saatiin luku, joka on pienempi kuin 0, niin "lainasimme" yhden suurimmasta numerosta ja lisäsimme 10 haluttuun numeroon ja vähennimme vaaditun uudesta numerosta. Tästä voimme muotoilla säännön:

1. On helpompi vähentää "sarakkeessa"
2. Vähentäminen paikkakohtaisesti, jos numero on paikallaan< 0, вычитаем из старшего разряда 1, а к нужному разряду прибавляем основание системы счисления.
3. Suoritamme vähennyslaskua

Esimerkki:

Vähennä luku 100111101 luvusta 1001001110 binäärilukujärjestelmässä

1001001110

100111101

100010001

Vastaus: 100010001

Vähennä 5A F3B:stä heksadesimaalimuodossa

D96

Vastaus: D96

Mikä tärkeintä, älä unohda, että käytettävissäsi on vain tietyn numerojärjestelmän numerot, äläkä myöskään unohda siirtymiä numerotermien välillä.
Kertominen:

Kertominen muissa lukujärjestelmissä tapahtuu täsmälleen samalla tavalla kuin olemme tottuneet kertomaan.

1. On kätevämpää kertoa "sarakkeessa"
2. Kertominen missä tahansa lukujärjestelmässä noudattaa samoja sääntöjä kuin desimaalijärjestelmässä. Mutta voimme käyttää vain aakkosia, annettu järjestelmä kuollut laskenta

Esimerkki:

Kerro 10111 luvulla 1101 binäärilukujärjestelmässä

10111

1101

10111

10111

10111

100101011

Vastaus: 100101011

Kerro F3B luvulla A heksadesimaalimuodossa

F3B

984E

Vastaus: 984E

Vastaus: 984E

Mikä tärkeintä, älä unohda, että käytettävissäsi on vain tietyn numerojärjestelmän numerot, äläkä myöskään unohda siirtymiä numerotermien välillä.

Jaosto:

Jako muissa lukujärjestelmissä tapahtuu täsmälleen samalla tavalla kuin olemme tottuneet jakamaan.

1. On kätevämpää jakaa "sarakkeeseen"
2. Jako missä tahansa numerojärjestelmässä noudattaa samoja sääntöjä kuin desimaalijärjestelmässä. Mutta voimme käyttää vain numerojärjestelmän antamaa aakkosta

Esimerkki:

Jaa 1011011 luvulla 1101 binäärilukujärjestelmässä

Jakaa F 3 B numerolle 8 heksadesimaalilukujärjestelmässä

Mikä tärkeintä, älä unohda, että käytettävissäsi on vain tietyn numerojärjestelmän numerot, äläkä myöskään unohda siirtymiä numerotermien välillä.

EI-PAIKKOINEN

Ei-sijaintinumerojärjestelmät

Ei-paikannuslukujärjestelmät ilmestyivät historiallisesti ensimmäisenä. Näissä järjestelmissä jokaisen digitaalisen merkin merkitys on vakio eikä riipu sen sijainnista. Yksinkertaisin tapaus ei-positiojärjestelmästä on yksikköjärjestelmä, jossa numeroita merkitään yhdellä symbolilla, yleensä pylvällä, joskus pisteellä, josta on aina asetettu määrättyä numeroa vastaava määrä:

• 1 - |
• 2 - ||
• 3 - ||| jne.

Joten tällä yhdellä hahmolla on merkitys yksiköitä, josta tarvittava määrä saadaan lisäämällä peräkkäin:

||||| = 1+1+1+1+1 = 5.

Yksikköjärjestelmän muunnelma on kantajärjestelmä, jossa on symbolit paitsi yksikön osoittamiseksi, myös pohjan asteet. Esimerkiksi, jos numero 5 otetaan perustana, siellä on lisäsymbolit osoittamaan 5, 25, 125 ja niin edelleen.

Esimerkki tällaisesta 10-kantajärjestelmästä on muinainen egyptiläinen järjestelmä, joka syntyi kolmannen vuosituhannen eKr. toisella puoliskolla. Tällä järjestelmällä oli seuraavat hieroglyfit:

• napayksiköt,
• kaari - kymmeniä,
• palmunlehtiä - satoja,
• lootuksenkukka - tuhansia.

Numerot saatiin yksinkertaisella summauksella; järjestys voi olla mikä tahansa. Joten esimerkiksi numeron 3815 osoittamiseksi piirrettiin kolme lootuksen kukkaa, kahdeksan palmunlehteä, yksi kaari ja viisi napaa. Monimutkaisempia järjestelmiä lisäkylteillä - vanha kreikkalainen, roomalainen. Roomalaisessa käytetään myös paikkajärjestelmän elementtiä - pienemmän edessä oleva suurempi luku lisätään, suuremman edessä oleva pienempi vähennetään: IV = 4, mutta VI = 6, tämä menetelmä kuitenkin käytetään yksinomaan merkitsemään numeroita 4, 9, 40, 90, 400 , 900, 4000 ja niiden johdannaisia ​​yhteenlaskemalla.

Nykyaikaiset kreikkalaiset ja muinaiset venäläiset järjestelmät käyttivät 27 aakkosten kirjainta numeroina, joissa ne merkitsivät jokaista numeroa 1 - 9 sekä kymmeniä ja satoja. Tämä lähestymistapa mahdollisti numeroiden kirjoittamisen välillä 1 - 999 ilman toistuvia numeroita.

Vanhassa venäläisessä järjestelmässä numeroiden ympärillä olevia erityisiä kehyksiä käytettiin osoittamaan suuria numeroita.

Ei-paikkanumerointijärjestelmää käytetään edelleen lähes kaikkialla sanallisena numerointijärjestelmänä. Sanalliset numerointijärjestelmät ovat vahvasti sidoksissa kieleen, ja niiden yhteiset elementit liittyvät pääasiassa yleisiin periaatteisiin ja suurten lukujen nimiin (biljoona ja enemmän). Nykyaikaisten verbaalisten numerointien taustalla olevat yleiset periaatteet sisältävät nimitysten muodostamisen lisäämällä ja kertomalla yksilöllisten nimien merkityksiä.

| Tietojenkäsittelytiede ja tieto- ja viestintäteknologiat | Oppituntien suunnittelu ja materiaalit | 10. luokka | Oppituntien suunnittelu lukuvuodelle (FSES) | Aritmeettiset operaatiot paikkalukujärjestelmissä

Oppitunti 15
§12. Aritmeettiset operaatiot paikkalukujärjestelmissä

Aritmeettiset operaatiot paikkalukujärjestelmissä

Aritmeettiset operaatiot kantalukujärjestelmissä q suoritetaan samojen sääntöjen mukaan kuin desimaalilukujärjestelmässä voimassa olevat säännöt.

Peruskoulussa lapsia opetetaan laskemaan yhteen- ja kertolaskutaulukoilla. Samanlaisia ​​taulukoita voidaan koota mille tahansa paikkalukujärjestelmälle.

12.1. Lukujen yhteenlasku lukujärjestelmässä kanta-q:n kanssa

Tarkastellaan esimerkkejä yhteenlaskutaulukoista kolminumeroisissa (taulukko 3.2), oktaaliluvuissa (taulukko 3.4) ja heksadesimaaliluvuissa (taulukko 3.3).

Taulukko 3.2

Lisäys kolminumerojärjestelmässä

Taulukko 3.3

Summa heksadesimaalilukujärjestelmässä

Taulukko 3.4

Lisäys oktaalilukujärjestelmässä

q saada summa S kaksi numeroa A Ja B, sinun on laskettava ne muodostavat numerot numeroiksi i oikealta vasemmalle:

Jos a i + b i< q, то s i = a i + b i , старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
jos a i + b i ≥ q, niin s i = a i + b i - q, merkitsevintä (i + 1) numeroa suurennetaan yhdellä.

Esimerkkejä:

12.2. Lukujen vähentäminen perusq-lukujärjestelmässä

Siis lukujärjestelmässä, jossa on kanta q saada ero R kaksi numeroa A Ja SISÄÄN, on tarpeen laskea ne muodostavien numeroiden väliset erot numeroittain i oikealta vasemmalle:

Jos a i ≥ b i, niin r i = a i - b i, merkitsevin (i + 1) numero ei muutu;
jos i< b i , то r i = a i - b i + g, старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1 (выполняется заём в старшем разряде).