सेवा का उद्देश्य. यह सेवा संख्याओं को एक संख्या प्रणाली से दूसरी संख्या प्रणाली में ऑनलाइन परिवर्तित करने के लिए डिज़ाइन की गई है। ऐसा करने के लिए, उस सिस्टम का आधार चुनें जिससे आप नंबर कनवर्ट करना चाहते हैं। आप पूर्णांक और संख्या दोनों को अल्पविराम से दर्ज कर सकते हैं।

आप पूर्ण संख्याएँ, उदाहरण के लिए 34, और भिन्नात्मक संख्याएँ, उदाहरण के लिए, 637.333, दोनों दर्ज कर सकते हैं। भिन्नात्मक संख्याओं के लिए, दशमलव बिंदु के बाद अनुवाद सटीकता इंगित की जाती है।

इस कैलकुलेटर के साथ निम्नलिखित का भी उपयोग किया जाता है:

संख्याओं को दर्शाने के तरीके

द्विआधारी (बाइनरी) संख्याएँ - प्रत्येक अंक का मतलब एक बिट (0 या 1) का मान है, सबसे महत्वपूर्ण बिट हमेशा बाईं ओर लिखा जाता है, अक्षर "बी" संख्या के बाद रखा जाता है। धारणा में आसानी के लिए, नोटबुक को रिक्त स्थान से अलग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 1010 0101बी।
हेक्साडेसिमल (हेक्साडेसिमल) संख्याएं - प्रत्येक टेट्राड को एक प्रतीक 0...9, ए, बी, ..., एफ द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रतिनिधित्व को विभिन्न तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है; यहां अंतिम हेक्साडेसिमल के बाद केवल प्रतीक "एच" का उपयोग किया जाता है अंक। उदाहरण के लिए, A5h. प्रोग्राम टेक्स्ट में, प्रोग्रामिंग भाषा के सिंटैक्स के आधार पर, समान संख्या को 0xA5 या 0A5h के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है। संख्याओं और प्रतीकात्मक नामों के बीच अंतर करने के लिए अक्षर द्वारा दर्शाए गए सबसे महत्वपूर्ण हेक्साडेसिमल अंक के बाईं ओर एक अग्रणी शून्य (0) जोड़ा जाता है।
दशमलव (दशमलव) संख्याएँ - प्रत्येक बाइट (शब्द, दोहरा शब्द) को एक नियमित संख्या द्वारा दर्शाया जाता है, और दशमलव प्रतिनिधित्व चिह्न (अक्षर "डी") आमतौर पर छोड़ दिया जाता है। पिछले उदाहरणों में बाइट का दशमलव मान 165 है। बाइनरी और हेक्साडेसिमल नोटेशन के विपरीत, दशमलव में प्रत्येक बिट के मान को मानसिक रूप से निर्धारित करना मुश्किल है, जो कभी-कभी आवश्यक होता है।
अष्टभुजाकार (ऑक्टल) संख्याएँ - बिट्स के प्रत्येक ट्रिपल (विभाजन सबसे कम महत्वपूर्ण से शुरू होता है) को 0-7 संख्या के रूप में लिखा जाता है, जिसके अंत में "ओ" होता है। वही संख्या 245o लिखी जाएगी। ऑक्टल प्रणाली असुविधाजनक है क्योंकि बाइट को समान रूप से विभाजित नहीं किया जा सकता है।

संख्याओं को एक संख्या प्रणाली से दूसरी संख्या प्रणाली में परिवर्तित करने के लिए एल्गोरिदम

पूर्ण दशमलव संख्याओं को किसी अन्य संख्या प्रणाली में परिवर्तित करने के लिए संख्या को नई संख्या प्रणाली के आधार से विभाजित किया जाता है जब तक कि शेष नई संख्या प्रणाली के आधार से कम संख्या न रह जाए। नई संख्या को पिछले से शुरू करके विभाजन शेष के रूप में लिखा जाता है।
एक नियमित दशमलव अंश को दूसरे पीएसएस में परिवर्तित करना संख्या के केवल भिन्नात्मक भाग को नई संख्या प्रणाली के आधार से गुणा करके किया जाता है जब तक कि सभी शून्य भिन्नात्मक भाग में न रहें या जब तक निर्दिष्ट अनुवाद सटीकता प्राप्त न हो जाए। प्रत्येक गुणन संक्रिया के परिणामस्वरूप, उच्चतम संख्या से शुरू करके, एक नई संख्या का एक अंक बनता है।
अनुचित भिन्न अनुवाद नियम 1 और 2 के अनुसार किया जाता है। पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को एक साथ लिखा जाता है, अल्पविराम से अलग किया जाता है।

उदाहरण क्रमांक 1.



2 से 8 से 16 संख्या प्रणाली में रूपांतरण।
ये प्रणालियाँ दो के गुणज हैं, इसलिए अनुवाद एक पत्राचार तालिका (नीचे देखें) का उपयोग करके किया जाता है।

किसी संख्या को बाइनरी संख्या प्रणाली से ऑक्टल (हेक्साडेसिमल) संख्या प्रणाली में परिवर्तित करने के लिए, बाइनरी संख्या को दशमलव बिंदु से दाएं और बाएं तीन (हेक्साडेसिमल के लिए चार) अंकों के समूहों में विभाजित करना आवश्यक है, जो बाहरी समूहों को पूरक करता है। यदि आवश्यक हो तो शून्य के साथ. प्रत्येक समूह को संबंधित अष्टक या हेक्साडेसिमल अंक से बदल दिया जाता है।

उदाहरण क्रमांक 2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
यहाँ 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

हेक्साडेसिमल प्रणाली में परिवर्तित करते समय, आपको समान नियमों का पालन करते हुए संख्या को चार अंकों के भागों में विभाजित करना होगा।
उदाहरण संख्या 3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2बी12,13 हेक्स
यहाँ 0010=2; 1011=बी; 1010=12; 1011=13

2, 8 और 16 से संख्याओं का दशमलव प्रणाली में रूपांतरण संख्या को अलग-अलग संख्याओं में तोड़कर और सिस्टम के आधार (जिससे संख्या का अनुवाद किया जाता है) से गुणा करके उसके क्रम संख्या के अनुरूप शक्ति तक बढ़ाया जाता है। संख्या परिवर्तित की जा रही है. इस मामले में, संख्याओं को दशमलव बिंदु के बाईं ओर बढ़ते हुए (पहली संख्या 0 है) और घटते हुए दाईं ओर (यानी, एक नकारात्मक चिह्न के साथ) क्रमांकित किया जाता है। प्राप्त परिणामों को जोड़ा जाता है।

उदाहरण संख्या 4.
बाइनरी से दशमलव संख्या प्रणाली में रूपांतरण का एक उदाहरण।

1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10 अष्टक से दशमलव संख्या प्रणाली में रूपांतरण का एक उदाहरण। 108.5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 हेक्साडेसिमल से दशमलव संख्या प्रणाली में रूपांतरण का एक उदाहरण। 108.5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0.3125 = 264.3125 10

एक बार फिर हम संख्याओं को एक संख्या प्रणाली से दूसरे पीएसएस में परिवर्तित करने के लिए एल्गोरिदम दोहराते हैं

1. दशमलव संख्या प्रणाली से:
   • संख्या को अनुवादित की जा रही संख्या प्रणाली के आधार से विभाजित करें;
   • किसी संख्या के पूर्णांक भाग को विभाजित करते समय शेषफल ज्ञात करें;
   • विभाजन के सभी शेषफलों को उल्टे क्रम में लिखिए;
2. बाइनरी नंबर सिस्टम से
   • दशमलव संख्या प्रणाली में परिवर्तित करने के लिए, अंक की संगत डिग्री द्वारा आधार 2 के उत्पादों का योग ज्ञात करना आवश्यक है;
   • किसी संख्या को अष्टक में बदलने के लिए, आपको संख्या को त्रिक में तोड़ना होगा।
     उदाहरण के लिए, 1000110 = 1,000 110 = 106 8
   • किसी संख्या को बाइनरी से हेक्साडेसिमल में बदलने के लिए, आपको संख्या को 4 अंकों के समूहों में विभाजित करना होगा।
     उदाहरण के लिए, 1000110 = 100 0110 = 46 16

प्रणाली को स्थितीय कहा जाता है, जिसके लिए किसी अंक का महत्व या वजन संख्या में उसके स्थान पर निर्भर करता है। सिस्टम के बीच संबंध एक तालिका में व्यक्त किया गया है।
संख्या प्रणाली पत्राचार तालिका:

बाइनरी एसएस	हेक्साडेसिमल एसएस
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	ए
1011	बी
1100	सी
1101	डी
1110	इ
1111	एफ

अष्टक संख्या प्रणाली में रूपांतरण के लिए तालिका

उदाहरण क्रमांक 2. संख्या 100.12 को दशमलव संख्या प्रणाली से अष्टक संख्या प्रणाली में बदलें और इसके विपरीत। विसंगतियों के कारण स्पष्ट करें।
समाधान.
प्रथम चरण। .

हम भाग के शेष भाग को उल्टे क्रम में लिखते हैं। हमें आठवीं संख्या प्रणाली में संख्या मिलती है: 144
100 = 144 8

किसी संख्या के भिन्नात्मक भाग को परिवर्तित करने के लिए, हम क्रमिक रूप से भिन्नात्मक भाग को आधार 8 से गुणा करते हैं। परिणामस्वरूप, हर बार हम गुणनफल का पूरा भाग लिखते हैं।
0.12*8 = 0.96 (पूर्णांक भाग 0 )
0.96*8 = 7.68 (पूर्णांक भाग 7 )
0.68*8 = 5.44 (पूर्णांक भाग 5 )
0.44*8 = 3.52 (पूर्णांक भाग 3 )
हमें आठवीं संख्या प्रणाली में नंबर मिलता है: 0753।
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

चरण 2। किसी संख्या को दशमलव संख्या प्रणाली से अष्टक संख्या प्रणाली में परिवर्तित करना.
अष्टक संख्या प्रणाली से दशमलव में उल्टा रूपांतरण।

किसी पूर्णांक भाग का अनुवाद करने के लिए, आपको किसी संख्या के अंक को अंक की संगत डिग्री से गुणा करना होगा।
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

भिन्नात्मक भाग को परिवर्तित करने के लिए, आपको संख्या के अंक को अंक की संगत डिग्री से विभाजित करना होगा
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
0.0001 (100.12 - 100.1199) का अंतर अष्टक संख्या प्रणाली में परिवर्तित करते समय एक पूर्णांक त्रुटि द्वारा समझाया गया है। यदि आप बड़ी संख्या में अंक लेते हैं (उदाहरण के लिए, 4 नहीं, बल्कि 8) तो इस त्रुटि को कम किया जा सकता है।

किसी भी स्थितीय संख्या प्रणाली में संख्याओं का जोड़ और घटाव बिटवाइज़ किया जाता है। योग ज्ञात करने के लिए, पहले अंक (दाईं ओर) की इकाइयों से शुरू करते हुए, समान अंक की इकाइयों को जोड़ा जाता है। यदि जोड़े गए अंक की इकाइयों का योग प्रणाली के आधार के बराबर संख्या से अधिक है, तो इस योग से उच्चतम अंक की इकाई का चयन किया जाता है, जिसे बाईं ओर आसन्न अंक में जोड़ा जाता है। इसलिए, जोड़ सीधे दशमलव प्रणाली की तरह, "कॉलम" में, एकल-अंकीय संख्याओं को जोड़ने के लिए एक तालिका का उपयोग करके किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, आधार 4 संख्या प्रणाली में, जोड़ तालिका इस तरह दिखती है:

बाइनरी संख्या प्रणाली में जोड़ तालिका और भी सरल है:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 1 = 10.

उदाहरण:

घटावहम इसे दशमलव प्रणाली की तरह ही निष्पादित करते हैं: हम मीनूएंड के तहत सबट्रेंड पर हस्ताक्षर करते हैं और पहले से शुरू करके अंकों में संख्याओं को घटाते हैं। यदि किसी अंक में एक को घटाना संभव नहीं है, तो हम उच्चतम अंक में 1 को "कब्जा" कर लेते हैं और इसे आसन्न दाएं अंक की इकाइयों में बदल देते हैं।

उदाहरण: 2311 4 - 1223 4 . पहले अंक में, 3 को 1 से घटाया नहीं जा सकता; हम दूसरे अंक की एक इकाई पर "कब्जा" करते हैं; इसमें पहले अंक की चार इकाइयाँ शामिल हैं। हम उनमें पहले अंक की मौजूदा इकाई जोड़ते हैं, कुल मिलाकर हमें पहले अंक में पाँच इकाइयाँ मिलती हैं - चतुर्धातुक प्रणाली में उन्हें 11 के रूप में लिखा जाता है। पहले अंक में हम पाँच इकाइयों में से तीन इकाइयाँ घटाते हैं: 11-3=2। दूसरी श्रेणी में कोई इकाइयाँ नहीं बची हैं, हम तीसरी पर काबिज हैं (तीसरी में 2 इकाइयाँ बची होंगी)। तीसरी श्रेणी की एक इकाई में दूसरी श्रेणी की 4 इकाइयाँ होती हैं। दूसरे अंक में घटाएँ: 4-2 = 2. तीसरे अंक में: 2-2=0. चौथे अंक में: 2-1=1.

बाइनरी संख्या प्रणाली में अंकगणितीय संक्रियाएँ

बाइनरी संख्याओं पर अंकगणितीय संचालन करने के नियम जोड़, घटाव और गुणन तालिकाओं द्वारा निर्दिष्ट होते हैं।

जोड़ संक्रिया करने का नियम सभी संख्या प्रणालियों के लिए समान है: यदि जोड़े गए अंकों का योग संख्या प्रणाली के आधार से अधिक या उसके बराबर है, तो इकाई को बाईं ओर अगले अंक में स्थानांतरित कर दिया जाता है। घटाते समय यदि आवश्यक हो तो ऋण बना लें।

अंकगणितीय ऑपरेशन ऑक्टल, हेक्साडेसिमल और अन्य संख्या प्रणालियों में समान रूप से किए जाते हैं। यह ध्यान रखना आवश्यक है कि जोड़ते समय अगले अंक में स्थानांतरण की राशि और घटाते समय उच्चतम अंक से उधार लेने की राशि संख्या प्रणाली के आधार के मूल्य से निर्धारित होती है।

अष्टक संख्या प्रणाली में अंकगणितीय संक्रियाएँ

अष्टक संख्या प्रणाली में संख्याओं को दर्शाने के लिए आठ अंकों (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) का उपयोग किया जाता है, क्योंकि अष्टक संख्या प्रणाली का आधार 8 है। सभी कार्य इन आठ अंकों का उपयोग करके किए जाते हैं। अष्टक संख्या प्रणाली में जोड़ और गुणन संचालन निम्नलिखित तालिकाओं का उपयोग करके किया जाता है:

अष्टक संख्या प्रणाली में जोड़ और गुणन सारणी

उदाहरण 5.अष्टक संख्याएँ 5153-1671 और 2426.63-1706.71 घटाएँ

उदाहरण 6. अष्टक संख्या 51 16 और 16.6 3.2 को गुणा करें

हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में अंकगणितीय संक्रियाएँ

हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में संख्याओं को दर्शाने के लिए सोलह अंकों का उपयोग किया जाता है: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ए, बी, सी, डी, ई, एफ। , सोलह की संख्या को 10 लिखा जाता है। हेक्साडेसिमल प्रणाली में अंकगणितीय संचालन करना दशमलव प्रणाली के समान ही है, लेकिन बड़ी संख्याओं पर अंकगणितीय संचालन करते समय, हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में संख्याओं को जोड़ने और गुणा करने के लिए तालिकाओं का उपयोग करना आवश्यक है।

हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में जोड़ तालिका

हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में गुणन सारणी

उदाहरण 7. हेक्साडेसिमल संख्याएँ जोड़ें

टिप्पणी:
आप केवल एक ही संख्या प्रणाली में कार्य कर सकते हैं; यदि आपको अलग-अलग संख्या प्रणाली दी गई है, तो पहले सभी संख्याओं को एक संख्या प्रणाली में परिवर्तित करें
यदि आप एक संख्या प्रणाली के साथ काम कर रहे हैं जिसका आधार 10 से अधिक है और आपके उदाहरण में एक अक्षर है, तो मानसिक रूप से इसे दशमलव प्रणाली में एक संख्या से बदलें, आवश्यक संचालन करें और परिणाम को मूल संख्या प्रणाली में परिवर्तित करें

जोड़ना:
हर किसी को याद है कि कैसे प्राथमिक विद्यालय में हमें एक कॉलम में स्थान दर स्थान जोड़ना सिखाया जाता था। यदि किसी अंक को जोड़ने पर 9 से बड़ी संख्या प्राप्त होती है, तो उसमें से 10 घटा दिया जाता है, परिणामी परिणाम को उत्तर में लिख दिया जाता है और अगले अंक में 1 जोड़ दिया जाता है। इससे हम एक नियम बना सकते हैं:

1. इसे "कॉलम" में मोड़ना अधिक सुविधाजनक है
2. स्थान दर स्थान जोड़ने पर, यदि स्थान > का अंक किसी दी गई संख्या प्रणाली के वर्णमाला के सबसे बड़े अंक से बड़ा है, तो हम इस संख्या से संख्या प्रणाली का आधार घटा देते हैं।
3. हम परिणाम को आवश्यक श्रेणी में लिखते हैं
4. अगले अंक में एक जोड़ें

उदाहरण:

बाइनरी नंबर सिस्टम में 1001001110 और 100111101 जोड़ें

1001001110

100111101

1110001011

उत्तर: 1110001011

हेक्साडेसिमल नोटेशन में F3B और 5A जोड़ें

एफई0

उत्तर: FE0

घटाव: हर किसी को याद है कि कैसे प्राथमिक विद्यालय में हमें स्थानीय मान से कॉलम, स्थानीय मान घटाना सिखाया जाता था। यदि, किसी अंक में घटाने पर, 0 से कम संख्या प्राप्त होती है, तो हम उच्चतम अंक में से एक "उधार" लेते हैं और वांछित अंक में 10 जोड़ते हैं, और आवश्यक संख्या को नई संख्या से घटा देते हैं। इससे हम एक नियम बना सकते हैं:

1. "कॉलम" में घटाना अधिक सुविधाजनक है
2. यदि अंक अपने स्थान पर है तो स्थानानुसार घटाना< 0, вычитаем из старшего разряда 1, а к нужному разряду прибавляем основание системы счисления.
3. हम घटाव करते हैं

उदाहरण:

बाइनरी संख्या प्रणाली में 1001001110 से संख्या 100111101 घटाएँ

1001001110

100111101

100010001

उत्तर: 100010001

हेक्साडेसिमल नोटेशन में F3B से 5A घटाएं

डी96

उत्तर: D96

सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि यह न भूलें कि आपके पास केवल दी गई संख्या प्रणाली की संख्याएं हैं, और अंक पदों के बीच संक्रमण के बारे में भी न भूलें।
गुणा:

अन्य संख्या प्रणालियों में गुणन बिल्कुल उसी तरह होता है जैसे हम गुणा करने के आदी होते हैं।

1. "कॉलम" में गुणा करना अधिक सुविधाजनक है
2. किसी भी संख्या प्रणाली में गुणन दशमलव प्रणाली के समान नियमों का पालन करता है। लेकिन हम केवल वर्णमाला का उपयोग कर सकते हैं, दी गई प्रणालीमृत गणना

उदाहरण:

बाइनरी संख्या प्रणाली में 10111 को 1101 से गुणा करें

10111

1101

10111

10111

10111

100101011

उत्तर: 100101011

हेक्साडेसिमल नोटेशन में F3B को संख्या A से गुणा करें

एफ3बी

984ई

उत्तर: 984ई

उत्तर: 984ई

सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि यह न भूलें कि आपके पास केवल दी गई संख्या प्रणाली की संख्याएं हैं, और अंक पदों के बीच संक्रमण के बारे में भी न भूलें।

विभाजन:

अन्य संख्या प्रणालियों में विभाजन ठीक उसी तरह होता है जैसे हम विभाजित करने के आदी होते हैं।

1. इसे "कॉलम" में विभाजित करना अधिक सुविधाजनक है
2. किसी भी संख्या प्रणाली में विभाजन दशमलव प्रणाली के समान नियमों का पालन करता है। लेकिन हम केवल संख्या प्रणाली द्वारा दिए गए वर्णमाला का ही उपयोग कर सकते हैं

उदाहरण:

बाइनरी संख्या प्रणाली में 1011011 को 1101 से विभाजित करें

विभाजित करना एफ 3 संख्या 8 के लिए बी हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में

सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि यह न भूलें कि आपके पास केवल दी गई संख्या प्रणाली की संख्याएं हैं, और अंक पदों के बीच संक्रमण के बारे में भी न भूलें।

गैर-स्थितीय

गैर-स्थितीय संख्या प्रणालियाँ

गैर-स्थितीय संख्या प्रणालियाँ ऐतिहासिक रूप से सबसे पहले सामने आईं। इन प्रणालियों में, प्रत्येक डिजिटल वर्ण का अर्थ स्थिर है और उसकी स्थिति पर निर्भर नहीं करता है। गैर-स्थितीय प्रणाली का सबसे सरल मामला इकाई प्रणाली है, जिसके लिए संख्याओं को दर्शाने के लिए एक एकल प्रतीक का उपयोग किया जाता है, आमतौर पर एक बार, कभी-कभी एक बिंदु, जिसमें निर्दिष्ट संख्या के अनुरूप मात्रा हमेशा रखी जाती है:

• 1 - |
• 2 - ||
• 3 - |||, आदि।

तो इस एक अक्षर का अर्थ है इकाइयां, जिससे क्रमिक जोड़ द्वारा आवश्यक संख्या प्राप्त होती है:

||||| = 1+1+1+1+1 = 5.

इकाई प्रणाली का एक संशोधन एक आधार वाली प्रणाली है, जिसमें न केवल इकाई को निर्दिष्ट करने के लिए, बल्कि आधार की डिग्री के लिए भी प्रतीक होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि संख्या 5 को आधार के रूप में लिया जाता है, तो 5, 25, 125 इत्यादि को इंगित करने के लिए अतिरिक्त प्रतीक होंगे।

ऐसी आधार 10 प्रणाली का एक उदाहरण प्राचीन मिस्र की प्रणाली है, जो ईसा पूर्व तीसरी सहस्राब्दी के उत्तरार्ध में उत्पन्न हुई थी। इस प्रणाली में निम्नलिखित चित्रलिपि थीं:

• पोल - इकाइयाँ,
• चाप - दहाई,
• ताड़ का पत्ता - सैकड़ों,
• कमल के फूल - हजारों.

संख्याएँ सरल जोड़ द्वारा प्राप्त की गईं; क्रम कोई भी हो सकता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, संख्या 3815 को नामित करने के लिए, तीन कमल के फूल, आठ ताड़ के पत्ते, एक चाप और पांच खंभे खींचे गए। अतिरिक्त संकेतों के साथ अधिक जटिल प्रणालियाँ - पुराना ग्रीक, रोमन। रोमन भी स्थितीय प्रणाली के एक तत्व का उपयोग करता है - छोटी संख्या के सामने बड़ी संख्या जोड़ी जाती है, बड़ी संख्या के सामने छोटी संख्या घटाई जाती है: IV = 4, लेकिन VI = 6, यह विधि, हालाँकि, इसका उपयोग विशेष रूप से संख्याओं 4, 9, 40, 90, 400, 900, 4000 और उनके जोड़ द्वारा व्युत्पन्नों को दर्शाने के लिए किया जाता है।

आधुनिक ग्रीक और प्राचीन रूसी प्रणालियों में वर्णमाला के 27 अक्षरों को संख्याओं के रूप में उपयोग किया जाता था, जहां वे प्रत्येक संख्या को 1 से 9 तक, साथ ही दहाई और सैकड़ों को दर्शाते थे। इस दृष्टिकोण ने संख्याओं को दोहराए बिना 1 से 999 तक की संख्याएँ लिखना संभव बना दिया।

पुरानी रूसी प्रणाली में, बड़ी संख्याओं को इंगित करने के लिए संख्याओं के चारों ओर विशेष फ़्रेम का उपयोग किया जाता था।

गैर-स्थितीय क्रमांकन प्रणाली अभी भी लगभग हर जगह मौखिक क्रमांकन प्रणाली के रूप में उपयोग की जाती है। मौखिक क्रमांकन प्रणालियाँ दृढ़ता से भाषा से जुड़ी होती हैं, और उनके सामान्य तत्व मुख्य रूप से बड़ी संख्याओं (ट्रिलियन और ऊपर) के सामान्य सिद्धांतों और नामों से संबंधित होते हैं। आधुनिक मौखिक संख्याओं के अंतर्निहित सामान्य सिद्धांतों में अद्वितीय नामों के अर्थों को जोड़ने और गुणा करने के माध्यम से पदनामों का निर्माण शामिल है।

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पाठ 15
§12. स्थितीय संख्या प्रणालियों में अंकगणितीय संक्रियाएँ

स्थितीय संख्या प्रणालियों में अंकगणितीय संक्रियाएँ

आधार के साथ स्थितीय संख्या प्रणालियों में अंकगणितीय संक्रियाएँ क्यूदशमलव संख्या प्रणाली में लागू नियमों के समान नियमों के अनुसार किया जाता है।

प्राथमिक विद्यालय में, बच्चों को गिनती सिखाने के लिए जोड़ और गुणन सारणी का उपयोग किया जाता है। किसी भी स्थितीय संख्या प्रणाली के लिए समान तालिकाएँ संकलित की जा सकती हैं।

12.1. आधार q के साथ संख्या प्रणाली में संख्याओं का योग

टर्नरी (तालिका 3.2), ऑक्टल (तालिका 3.4) और हेक्साडेसिमल (तालिका 3.3) संख्या प्रणालियों में जोड़ तालिकाओं के उदाहरणों पर विचार करें।

तालिका 3.2

टर्नरी संख्या प्रणाली में जोड़

तालिका 3.3

हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में जोड़

तालिका 3.4

अष्टाधारी संख्या प्रणाली में जोड़

क्यूराशि प्राप्त करें एसदो नंबर एऔर बी, आपको उन अंकों का योग करना होगा जो उन्हें अंकों के आधार पर बनाते हैं मैंदांये से बांये तक:

यदि ए आई + बी आई< q, то s i = a i + b i , старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
यदि a i + b i ≥ q, तो s i = a i + b i - q, सबसे महत्वपूर्ण (i + 1)वां अंक 1 से बढ़ जाता है।

उदाहरण:

12.2. आधार q संख्या प्रणाली में संख्याओं को घटाना

ताकि आधार वाली संख्या प्रणाली में क्यूअंतर प्राप्त करें आरदो नंबर एऔर में, अंकों द्वारा उन्हें बनाने वाले अंकों के बीच अंतर की गणना करना आवश्यक है मैंदांये से बांये तक:

यदि a i ≥ b i, तो r i = a i - b i, सबसे महत्वपूर्ण (i + 1)वां अंक नहीं बदलता है;
अगर मैं< b i , то r i = a i - b i + g, старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1 (выполняется заём в старшем разряде).