Tujuan layanan. Layanan ini dirancang untuk mengkonversi angka dari satu sistem angka ke sistem angka lainnya secara online. Untuk melakukan ini, pilih basis sistem tempat Anda ingin mengonversi nomornya. Anda dapat memasukkan bilangan bulat dan angka dengan koma.

Anda dapat memasukkan bilangan bulat, misalnya 34, dan bilangan pecahan, misalnya 637.333. Untuk bilangan pecahan, keakuratan terjemahan setelah koma ditunjukkan.

Berikut ini juga digunakan dengan kalkulator ini:

Cara untuk merepresentasikan angka

Biner bilangan (biner) - setiap digit berarti nilai satu bit (0 atau 1), bit paling signifikan selalu ditulis di sebelah kiri, huruf “b” ditempatkan setelah angka tersebut. Untuk memudahkan persepsi, buku catatan dapat dipisahkan dengan spasi. Misalnya, 1010 0101b.
Heksadesimal angka (heksadesimal) - setiap tetrad diwakili oleh satu simbol 0...9, A, B, ..., F. Representasi ini dapat ditandai dengan cara yang berbeda; di sini hanya simbol “h” yang digunakan setelah heksadesimal terakhir angka. Misalnya, A5h. Dalam teks program, nomor yang sama dapat ditetapkan sebagai 0xA5 atau 0A5h, bergantung pada sintaks bahasa pemrograman. Angka nol di depan (0) ditambahkan di sebelah kiri digit heksadesimal paling signifikan yang diwakili oleh huruf untuk membedakan antara angka dan nama simbol.
Desimal angka (desimal) - setiap byte (kata, kata ganda) diwakili oleh angka biasa, dan tanda representasi desimal (huruf “d”) biasanya dihilangkan. Byte pada contoh sebelumnya memiliki nilai desimal 165. Berbeda dengan notasi biner dan heksadesimal, desimal sulit untuk menentukan secara mental nilai setiap bit, yang terkadang diperlukan.
Oktal angka (oktal) - setiap tripel bit (pembagian dimulai dari yang paling tidak signifikan) ditulis sebagai angka 0–7, dengan “o” di akhir. Angka yang sama akan ditulis sebagai 245o. Sistem oktal tidak nyaman karena byte tidak dapat dibagi rata.

Algoritma untuk mengkonversi bilangan dari satu sistem bilangan ke sistem bilangan lainnya

Pengubahan bilangan bulat desimal ke sistem bilangan lain dilakukan dengan membagi bilangan tersebut dengan basis sistem bilangan baru hingga sisanya tetap lebih kecil dari basis sistem bilangan baru. Bilangan baru dituliskan sebagai sisa pembagian, dimulai dari bilangan terakhir.
Konversi pecahan desimal biasa ke PSS lain dilakukan dengan mengalikan hanya bagian pecahan suatu bilangan dengan basis sistem bilangan baru sampai semua angka nol tetap berada di bagian pecahan atau sampai keakuratan terjemahan yang ditentukan tercapai. Hasil dari setiap operasi perkalian akan terbentuk satu digit bilangan baru, dimulai dari yang tertinggi.
Penerjemahan pecahan tak wajar dilakukan menurut aturan 1 dan 2. Bagian bilangan bulat dan pecahan ditulis bersama, dipisahkan dengan koma.

Contoh No.1.



Konversi dari sistem bilangan 2 menjadi 8 menjadi 16.
Sistem ini merupakan kelipatan dua, oleh karena itu penerjemahannya dilakukan dengan menggunakan tabel korespondensi (lihat di bawah).

Untuk mengubah suatu bilangan dari sistem bilangan biner ke sistem bilangan oktal (heksadesimal), bilangan biner dari titik desimal ke kanan dan kiri perlu dibagi menjadi kelompok tiga (empat untuk heksadesimal), ditambah dengan kelompok terluar. dengan nol jika perlu. Setiap grup diganti dengan digit oktal atau heksadesimal yang sesuai.

Contoh No.2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
di sini 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

Saat mengonversi ke sistem heksadesimal, Anda harus membagi angka menjadi empat digit, dengan mengikuti aturan yang sama.
Contoh No.3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
di sini 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

Konversi bilangan dari 2, 8 dan 16 ke sistem desimal dilakukan dengan memecah bilangan menjadi bilangan individual dan mengalikannya dengan basis sistem (dari mana bilangan tersebut diterjemahkan) dipangkatkan sesuai dengan nomor urutnya di nomor yang dikonversi. Dalam hal ini, angka-angka diberi nomor di sebelah kiri koma desimal (angka pertama diberi nomor 0) dengan kenaikan, dan di sebelah kanan dengan penurunan (yaitu dengan tanda negatif). Hasil yang diperoleh dijumlahkan.

Contoh No.4.
Contoh konversi sistem bilangan biner ke desimal.

1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10 Contoh konversi sistem bilangan oktal ke desimal. 108.5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 Contoh konversi sistem bilangan heksadesimal ke desimal. 108,5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10

Sekali lagi kita ulangi algoritma untuk mengkonversi bilangan dari satu sistem bilangan ke PSS lainnya

1. Dari sistem bilangan desimal:
   • membagi bilangan dengan basis sistem bilangan yang diterjemahkan;
   • temukan sisanya saat membagi bagian bilangan bulat dari suatu bilangan;
   • tuliskan semua sisa pembagian dalam urutan terbalik;
2. Dari sistem bilangan biner
   • Untuk mengonversi ke sistem bilangan desimal, Anda perlu mencari jumlah hasil kali basis 2 dengan derajat digit yang sesuai;
   • Untuk mengubah bilangan menjadi oktal, Anda perlu memecah bilangan tersebut menjadi triad.
     Misalnya, 1000110 = 1.000 110 = 106 8
   • Untuk mengonversi bilangan dari biner ke heksadesimal, Anda perlu membagi bilangan tersebut menjadi kelompok yang terdiri dari 4 digit.
     Misalnya, 1000110 = 100 0110 = 46 16

Sistem ini disebut posisional, yang arti atau bobot suatu angka bergantung pada lokasinya dalam angka tersebut. Hubungan antar sistem dinyatakan dalam sebuah tabel.
Tabel korespondensi sistem bilangan:

SS biner	SS heksadesimal
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

Tabel konversi ke sistem bilangan oktal

Contoh No.2. Ubahlah bilangan 100,12 dari sistem bilangan desimal ke sistem bilangan oktal dan sebaliknya. Jelaskan alasan perbedaan tersebut.
Larutan.
Tahap 1. .

Kami menulis sisa pembagian dalam urutan terbalik. Kita mendapatkan bilangan pada sistem bilangan ke-8: 144
100 = 144 8

Untuk mengonversi bagian pecahan suatu bilangan, kita mengalikan bagian pecahan tersebut secara berurutan dengan basis 8. Hasilnya, setiap kali kita menuliskan seluruh bagian hasil perkaliannya.
0,12*8 = 0,96 (bagian bilangan bulat 0 )
0,96*8 = 7,68 (bagian bilangan bulat 7 )
0,68*8 = 5,44 (bagian bilangan bulat 5 )
0,44*8 = 3,52 (bagian bilangan bulat 3 )
Kita mendapatkan nomor dalam sistem bilangan ke-8: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

Tahap 2. Mengubah suatu bilangan dari sistem bilangan desimal ke sistem bilangan oktal.
Konversi terbalik dari sistem bilangan oktal ke desimal.

Untuk menerjemahkan bagian bilangan bulat, Anda perlu mengalikan digit suatu bilangan dengan derajat digit yang sesuai.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

Untuk mengonversi bagian pecahan, Anda perlu membagi digit suatu bilangan dengan derajat digit yang sesuai
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
Selisih 0,0001 (100,12 - 100,1199) disebabkan oleh kesalahan pembulatan saat mengkonversi ke sistem bilangan oktal. Kesalahan ini dapat dikurangi dengan mengambil jumlah digit yang lebih banyak (misalnya, bukan 4, tetapi 8).

Penjumlahan dan pengurangan bilangan dalam sistem bilangan posisional apa pun dilakukan secara bitwise. Untuk mencari jumlah, satuan angka yang sama dijumlahkan, dimulai dari satuan angka pertama (di sebelah kanan). Jika jumlah satuan angka yang ditambahkan melebihi angka yang sama dengan basis sistem, maka dari jumlah ini dipilih satuan angka tertinggi, yang ditambahkan ke angka yang berdekatan di sebelah kiri. Oleh karena itu, penjumlahan dapat dilakukan secara langsung, seperti dalam sistem desimal, dalam “kolom”, menggunakan tabel untuk menjumlahkan bilangan satu digit.

Misalnya, dalam sistem bilangan basis 4, tabel penjumlahannya terlihat seperti ini:

Yang lebih sederhana lagi adalah tabel penjumlahan dalam sistem bilangan biner:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 1 = 10.

Contoh:

Pengurangan Kami melakukannya dengan cara yang sama seperti dalam sistem desimal: kami menandatangani pengurang di bawah minuend dan mengurangi angka dalam digit, mulai dari yang pertama. Jika pengurangan satu dalam suatu digit tidak memungkinkan, kita “menempati” 1 pada digit tertinggi dan mengubahnya menjadi satuan digit kanan yang berdekatan.

Contoh: 2311 4 - 1223 4 . Pada digit pertama, 3 tidak dapat dikurangkan dari 1; kita “menempati” satu satuan dari digit kedua; di dalamnya terdapat empat satuan dari digit pertama. Kami menambahkan satuan digit pertama yang ada ke dalamnya, total kami mendapatkan lima satuan di digit pertama - dalam sistem kuaterner ditulis sebagai 11. Pada digit pertama kita mengurangi tiga satuan dari lima satuan: 11-3=2. Kategori kedua sudah tidak ada lagi unitnya, kategori ketiga kami tempati (kategori ketiga akan tersisa 2 unit). Satu unit kategori ketiga berisi 4 unit kategori kedua. Kurangi angka kedua: 4-2 = 2. Pada digit ketiga: 2-2=0. Pada digit keempat: 2-1=1.

Operasi aritmatika dalam sistem bilangan biner

Aturan untuk melakukan operasi aritmatika pada bilangan biner ditentukan oleh tabel penjumlahan, pengurangan dan perkalian.

Aturan untuk melakukan operasi penjumlahan adalah sama untuk semua sistem bilangan: jika jumlah digit yang ditambahkan lebih besar dari atau sama dengan basis sistem bilangan, maka satuannya dipindahkan ke digit berikutnya di sebelah kiri. Saat mengurangi, jika perlu, berikan pinjaman.

Operasi aritmatika dilakukan dengan cara yang sama dalam sistem bilangan oktal, heksadesimal, dan lainnya. Perlu diperhatikan bahwa besarnya perpindahan ke angka berikutnya pada saat penjumlahan dan peminjaman dari angka tertinggi pada saat pengurangan ditentukan oleh nilai basis sistem bilangan.

Operasi aritmatika pada sistem bilangan oktal

Untuk menyatakan bilangan dalam sistem bilangan oktal digunakan delapan angka (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), karena basis sistem bilangan oktal adalah 8. Semua operasi dilakukan menggunakan delapan digit ini. Operasi penjumlahan dan perkalian pada sistem bilangan oktal dilakukan dengan menggunakan tabel berikut:

Tabel penjumlahan dan perkalian dalam sistem bilangan oktal

Contoh 5.Kurangi bilangan oktal 5153- 1671 dan 2426.63- 1706.71

Contoh 6. Kalikan bilangan oktal 51 16 dan 16.6 3.2

Operasi aritmatika dalam sistem bilangan heksadesimal

Untuk menyatakan bilangan dalam sistem bilangan heksadesimal digunakan enam belas digit: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Dalam sistem heksadesimal , angka enam belas ditulis 10. Melakukan operasi hitung pada sistem bilangan heksadesimal sama dengan pada sistem bilangan desimal, namun pada saat melakukan operasi hitung pada bilangan yang besar maka perlu menggunakan tabel penjumlahan dan perkalian bilangan pada sistem bilangan heksadesimal.

Tabel penjumlahan dalam sistem bilangan heksadesimal

Tabel perkalian dalam sistem bilangan heksadesimal

Contoh 7.Tambahkan bilangan heksadesimal

Catatan:
Anda hanya dapat melakukan tindakan dalam satu sistem bilangan; jika Anda diberikan sistem bilangan yang berbeda, ubah dulu semua bilangan menjadi satu sistem bilangan
Jika Anda bekerja dengan sistem bilangan yang basisnya lebih besar dari 10 dan Anda memiliki huruf dalam contoh Anda, gantilah secara mental dengan angka dalam sistem desimal, lakukan operasi yang diperlukan dan ubah hasilnya kembali ke sistem bilangan asli

Tambahan:
Semua orang ingat bagaimana di sekolah dasar kita diajari menjumlahkan kolom, tempat demi tempat. Jika pada penjumlahan suatu angka diperoleh angka yang lebih besar dari 9, maka kita kurangi 10 darinya, hasilnya dicatat dalam jawaban, dan 1 ditambahkan ke angka berikutnya. Dari sini kita dapat merumuskan aturan:

1. Lebih mudah melipat dalam "kolom"
2. Menjumlahkan tempat demi tempat, jika angka di tempat > lebih besar dari angka terbesar abjad suatu sistem bilangan tertentu, kita kurangi bilangan tersebut dengan basis sistem bilangan tersebut.
3. Kami menulis hasilnya dalam kategori yang diperlukan
4. Tambahkan satu ke digit berikutnya

Contoh:

Tambahkan 1001001110 dan 100111101 dalam sistem bilangan biner

1001001110

100111101

1110001011

Jawaban: 1110001011

Tambahkan F3B dan 5A dalam notasi heksadesimal

FE0

Jawaban: FE0

Pengurangan: Semua orang ingat bagaimana di sekolah dasar kita diajari mengurangi nilai tempat dengan kolom, nilai tempat. Jika, ketika mengurangkan suatu angka, diperoleh angka yang kurang dari 0, maka kita “meminjam” satu dari angka tertinggi dan menambahkan 10 ke angka yang diinginkan, dan mengurangkan angka yang diperlukan dari angka baru. Dari sini kita dapat merumuskan aturan:

1. Lebih mudah untuk melakukan pengurangan dalam “kolom”
2. Pengurangan di tempat jika angkanya ada< 0, вычитаем из старшего разряда 1, а к нужному разряду прибавляем основание системы счисления.
3. Kami melakukan pengurangan

Contoh:

Kurangi angka 100111101 dari 1001001110 dalam sistem bilangan biner

1001001110

100111101

100010001

Jawaban: 100010001

Kurangi 5A dari F3B dalam notasi heksadesimal

D96

Jawaban: D96

Yang terpenting, jangan lupa bahwa Anda hanya memiliki bilangan dari sistem bilangan tertentu, dan juga jangan lupa tentang transisi antar suku digit.
Perkalian:

Perkalian dalam sistem bilangan lain terjadi dengan cara yang persis sama seperti yang biasa kita lakukan pada perkalian.

1. Lebih mudah untuk mengalikan dalam “kolom”
2. Perkalian dalam sistem bilangan apa pun mengikuti aturan yang sama seperti pada sistem desimal. Tapi kita hanya bisa menggunakan alfabet, sistem yang diberikan perhitungan yang salah

Contoh:

Kalikan 10111 dengan 1101 dalam sistem bilangan biner

10111

1101

10111

10111

10111

100101011

Jawaban: 100101011

Kalikan F3B dengan angka A dalam notasi heksadesimal

F3B

984E

Jawaban: 984E

Jawaban: 984E

Yang terpenting, jangan lupa bahwa Anda hanya memiliki bilangan dari sistem bilangan tertentu, dan juga jangan lupa tentang transisi antar suku digit.

Divisi:

Pembagian dalam sistem bilangan lain terjadi dengan cara yang persis sama seperti yang biasa kita lakukan pada pembagian.

1. Lebih mudah untuk membagi dalam “kolom”
2. Pembagian dalam sistem bilangan apa pun mengikuti aturan yang sama seperti pada sistem desimal. Namun kita hanya bisa menggunakan alfabet yang diberikan oleh sistem bilangan

Contoh:

Bagilah 1011011 dengan 1101 dalam sistem bilangan biner

Membagi F 3 B untuk nomor 8 dalam sistem bilangan heksadesimal

Yang terpenting, jangan lupa bahwa Anda hanya memiliki bilangan dari sistem bilangan tertentu, dan juga jangan lupa tentang transisi antar suku digit.

NON-POSISI

Sistem bilangan non-posisi

Sistem bilangan non-posisional muncul pertama kali secara historis. Dalam sistem ini, arti setiap karakter digital adalah konstan dan tidak bergantung pada posisinya. Kasus paling sederhana dari sistem non-posisi adalah sistem satuan, yang mana simbol tunggal digunakan untuk menunjukkan bilangan, biasanya berupa batang, kadang-kadang berupa titik, yang kuantitasnya selalu ditempatkan sesuai dengan bilangan yang ditunjuk:

• 1 - |
• 2 - ||
• 3 - |||, dll.

Jadi karakter yang satu ini mempunyai arti unit, dari mana nomor yang diperlukan diperoleh dengan penjumlahan berturut-turut:

||||| = 1+1+1+1+1 = 5.

Modifikasi sistem satuan adalah sistem dengan alas yang di dalamnya terdapat simbol-simbol tidak hanya untuk menyatakan satuan, tetapi juga untuk derajat alasnya. Misalnya angka 5 dijadikan basis, maka akan ada simbol tambahan yang menandakan 5, 25, 125, dan seterusnya.

Contoh sistem basis 10 adalah sistem Mesir kuno, yang muncul pada paruh kedua milenium ketiga SM. Sistem ini memiliki hieroglif berikut:

• tiang - satuan,
• busur - puluhan,
• daun palem - ratusan,
• bunga teratai - ribuan.

Angka-angka tersebut diperoleh dengan penjumlahan sederhana, urutannya bisa berapa saja. Jadi, untuk menunjuk, misalnya, angka 3815, digambar tiga bunga teratai, delapan daun lontar, satu busur, dan lima tiang. Sistem yang lebih kompleks dengan tanda tambahan - Yunani kuno, Romawi. Yang Romawi juga menggunakan elemen sistem posisi - bilangan yang lebih besar di depan bilangan yang lebih kecil ditambahkan, bilangan yang lebih kecil di depan bilangan yang lebih besar dikurangi: IV = 4, tetapi VI = 6, namun metode ini, digunakan secara eksklusif untuk menunjukkan angka 4, 9, 40, 90, 400 , 900, 4000, dan turunannya dengan penjumlahan.

Sistem Yunani modern dan Rusia kuno menggunakan 27 huruf alfabet sebagai angka, yang melambangkan setiap angka dari 1 hingga 9, serta puluhan dan ratusan. Pendekatan ini memungkinkan penulisan angka dari 1 hingga 999 tanpa mengulang angka.

Dalam sistem Rusia kuno, bingkai khusus di sekitar angka digunakan untuk menunjukkan angka besar.

Sistem penomoran non-posisional masih digunakan hampir di semua tempat sebagai sistem penomoran verbal. Sistem penomoran verbal sangat terkait dengan bahasa, dan elemen umumnya berkaitan dengan prinsip umum dan nama bilangan besar (triliun atau lebih). Prinsip umum yang mendasari penomoran verbal modern melibatkan pembentukan sebutan melalui penjumlahan dan penggandaan arti nama unik.

| Ilmu Komputer dan Teknologi Informasi dan Komunikasi | Perencanaan pembelajaran dan materi pelajaran | kelas 10 | Merencanakan pembelajaran untuk tahun ajaran (FSES) | Operasi aritmatika dalam sistem bilangan posisional

Pelajaran 15
§12. Operasi aritmatika dalam sistem bilangan posisional

Operasi aritmatika dalam sistem bilangan posisional

Operasi aritmatika dalam sistem bilangan posisi dengan basis Q dilakukan menurut aturan yang serupa dengan aturan yang berlaku dalam sistem bilangan desimal.

Di sekolah dasar, tabel penjumlahan dan perkalian digunakan untuk mengajarkan anak berhitung. Tabel serupa dapat disusun untuk sistem bilangan posisi apa pun.

12.1. Penjumlahan bilangan pada sistem bilangan dengan basis q

Perhatikan contoh tabel penjumlahan dalam sistem bilangan terner (Tabel 3.2), oktal (Tabel 3.4) dan heksadesimal (Tabel 3.3).

Tabel 3.2

Penjumlahan pada sistem bilangan terner

Tabel 3.3

Penjumlahan dalam sistem bilangan heksadesimal

Tabel 3.4

Penjumlahan pada sistem bilangan oktal

Q mendapatkan jumlahnya S dua angka A Dan B, Anda perlu menjumlahkan angka-angka yang membentuknya dengan angka Saya dari kanan ke kiri:

Jika a saya + b saya< q, то s i = a i + b i , старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
jika a i + b i ≥ q, maka s i = a i + b i - q, angka paling signifikan (i + 1) ditambah 1.

Contoh:

12.2. Pengurangan bilangan pada sistem bilangan basis q

Sehingga dalam sistem bilangan dengan basis Q mendapatkan perbedaannya R dua angka A Dan DI DALAM, perlu untuk menghitung selisih antara angka-angka yang membentuknya dengan angka-angka Saya dari kanan ke kiri:

Jika a i ≥ b i, maka r i = a i - b i, angka paling signifikan (i + 1) tidak berubah;
jika saya< b i , то r i = a i - b i + g, старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1 (выполняется заём в старшем разряде).