Esecuzione di operazioni aritmetiche nei sistemi numerici posizionali. Sistemi numerici: teoria

Sistemi numerici

Sistema numerico – un insieme di tecniche e regole per scrivere numeri personaggi digitali o simboli.

Tutti i sistemi numerici possono essere divisi in due classi: posizionale E non posizionale. Nella classe dei sistemi posizionali per scrivere numeri vari sistemi I numeri utilizzano una serie di segni diversi. Viene chiamato il numero di tali segni nel sistema numerico posizionale la base del sistema numerico. Di seguito è riportata una tabella contenente i nomi di alcuni sistemi numerici posizionali e un elenco di segni (cifre) da cui si formano i numeri in essi contenuti.

Alcuni sistemi numerici

Base	Notazione	Segni
	Binario	0,1
	Trinità	0, 1, 2
	Quaternario	0, 1, 2, 3
	Quintuplo	0, 1, 2, 3, 4
	Ottale	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
	Decimale	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
	duodecimale	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B
	Esadecimale	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

In un sistema numerico posizionale, alla posizione relativa di una cifra in un numero viene assegnato un fattore di peso e il numero può essere rappresentato come la somma dei prodotti dei coefficienti per la corrispondente potenza della base del sistema numerico (fattore di peso ):

A n À n–1 A n–2 ...A 1 A 0 , A –1 A –2 ... =

A n B n + A n-1 B n-1 + ... + A 1 B 1 + A 0 B 0 + A –1 B –1 + A –2 B –2 + ...

(il segno “,” separa la parte intera del numero dalla parte frazionaria. Pertanto, il significato di ciascun segno nel numero dipende dalla posizione che il segno occupa nella registrazione numerica. Ecco perché tali sistemi numerici sono chiamati posizionali ).

Un sistema numerico posizionale è un sistema in cui la dimensione di un numero è determinata dai valori delle cifre in esso incluse e dalla loro posizione relativa nel numero.

23,45 10 = 2 ⋅ 10 1 + 3 ⋅ 10 0 + 4 ⋅ 10 –1 + 5 ⋅ 10 –2 .

L'indice decimale in basso indica la base del sistema numerico.

692 10 = 6 ⋅ 10 2 + 9 ⋅ 10 1 + 2 ⋅ 10 0 ;

1101 2 = 1 ⋅ 2 3 + 1 ⋅ 2 2 + 0 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 13 10 ;

112 3 = 1 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ 3 1 + 2 ⋅ 3 0 = 14 10 ;

341,5 8 = 3 ⋅ 8 2 + 4 ⋅ 8 1 + 1 ⋅ 8 0 + 5 ⋅ 8 –1 = 225,125 10 ;

A1F,4 16 = LA ⋅ 16 2 + 1 ⋅ 16 1 + F ⋅ 16 0 + 4 ⋅ 16 –1 = 2591.625 10.

Quando si lavora con i computer, è necessario utilizzare diversi sistemi numerici posizionali in parallelo (molto spesso binario, decimale, ottale ed esadecimale), quindi le procedure per convertire i numeri da un sistema numerico a un altro sono di grande importanza pratica. Si noti che in tutti gli esempi precedenti, il risultato è un numero decimale, e quindi il metodo per convertire i numeri da qualsiasi sistema numerico posizionale a decimale è già stato dimostrato.

In generale, per convertire una parte intera di un numero dal sistema decimale al sistema base B, è necessario dividerlo per B. Il resto darà la cifra meno significativa del numero. Il quoziente risultante deve essere nuovamente diviso per B: il resto darà la cifra successiva del numero, ecc. Le divisioni continuano finché il quoziente diventa inferiore alla base. I valori dei resti risultanti, presi in ordine inverso, formano il numero binario desiderato.

Un esempio di traduzione di un'intera parte: Converti 25 10 in un numero binario.

25/2 = 12 con resto 1,

12/2 = 6 con resto 0,

6 /2 = 3 con resto 0,

Le parti intere e frazionarie vengono tradotte separatamente. Per convertire la parte frazionaria è necessario moltiplicarla per B. La parte intera del prodotto risultante sarà la prima cifra (dopo il punto decimale che separa la parte intera dalla parte frazionaria). La parte frazionaria del prodotto deve essere nuovamente moltiplicata per B. La parte intera del numero risultante sarà il segno successivo, ecc.

Per convertire una parte frazionaria (o un numero che ha numeri interi "0"), è necessario moltiplicarlo per 2. La parte intera del prodotto sarà la prima cifra del numero nel sistema binario. Quindi, scartando la parte intera del risultato, moltiplichiamo nuovamente per 2, ecc. Si noti che una frazione decimale finita può benissimo diventare una frazione binaria infinita (periodica).

Un esempio di conversione di una parte frazionaria: Converti 0,73 10 in un numero binario.

0,73 ⋅ 2 = 1,46 (parte intera 1),

0,46 ⋅ 2 = 0,92 (parte intera 0),

0,92 ⋅ 2 = 1,84 (parte intera 1),

0,84 ⋅ 2 = 1,68 (parte intera 1), ecc.

Quindi: 0,73 10 = 0,1011 2.

È possibile eseguire varie operazioni aritmetiche sui numeri scritti in qualsiasi sistema numerico. Le operazioni aritmetiche in tutti i sistemi numerici posizionali vengono eseguite secondo le stesse regole che ti sono ben note.

Considera l'aggiunta di due numeri in base dieci:

Quando si sommano i numeri 6 e 7, il risultato può essere rappresentato come l'espressione 10 + 3, dove 10 è la base completa per il sistema numerico decimale. Sostituiamo 10 (base) con 1 e sostituiamo a sinistra del numero 3. Otteniamo:

6 10 + 7 10 = 13 10 .

Prendi in considerazione l'aggiunta di due numeri in base otto:

Quando si sommano i numeri 6 e 7, il risultato può essere rappresentato come l'espressione 8 + 5, dove 8 è la base completa del sistema numerico ottale. Sostituiamo 8 (base) con 1 e sostituiamo a sinistra del numero 5. Otteniamo:

6 8 + 7 8 = 15 8 .

Considera l'aggiunta di due grandi numeri dalla base otto:

L'addizione inizia dalla cifra meno significativa. Quindi, rappresentiamo 4 8 + 6 8 come 8 (base) + 2. Sostituisci 8 (base) con 1 e aggiungi questa unità alle cifre di ordine superiore. Successivamente, aggiungiamo le seguenti cifre: 5 8 + 3 8 + 1 8, rappresentiamolo come 8 + 1, sostituiamo 8 (base) con 1 e lo aggiungiamo alla cifra più significativa. Successivamente, rappresentiamo 2 8 + 7 8 + 1 8 come 8 (base) + 2, sostituiamo 8 (base) con 1 e lo sostituiamo a sinistra del numero risultante (nella posizione della cifra più significativa). Risulta così:

254 8 + 736 8 = 1212 8 .

276 8 + 231 8 = 527 8 ,

4A77 16 + BF4 16 = 566B 16,

1100110 2 + 1100111 2 = 11001101 2 .

Altre operazioni aritmetiche (sottrazione, moltiplicazione e divisione) vengono eseguite in modo simile in diversi sistemi numerici.

Consideriamo la moltiplicazione in una “colonna”, usando l'esempio di due numeri del sistema binario:

11101 2 101 2

Scriviamo i numeri uno sotto l'altro, secondo i ranghi. Quindi eseguiamo una moltiplicazione bit a bit del secondo fattore per il primo e lo scriviamo con uno spostamento a sinistra, proprio come quando si moltiplicano i numeri decimali. Resta da sommare i numeri “spostati”, tenendo conto della base dei numeri, in questo caso binaria.

Convertiamo il risultato in base 16.

Nella seconda cifra rappresentiamo 29 come 16 (base) e 13 (D). Sostituiamo 16 (base) con 1 e aggiungiamolo alla cifra più significativa.

Nella terza cifra 96 ​​+ 1 = 97. Quindi immagina 97 come 6 16 (base) e 1. Aggiungi 6 alla cifra più alta.

Nella quarta cifra, 20 + 6 = 26. Immaginiamo 26 come 16 (base) e 10 (A). Spostiamo l'unità sulla cifra più alta.

Con determinate abilità nel lavorare con vari sistemi numerici, la voce potrebbe essere immediatamente immaginata come

		UN
		B	B
	UN		D

Pertanto, A31 16 29 16 = 1A1D9 16.

527 8 – 276 8 = 231 8 ,

566B 16 – 4A77 16 = BF4 16,

11001101 2 – 1100110 2 = 1100111 2 ,

276 8 231 8 = 70616 8,

4A77 16 BF4 16 = 37A166C 16,

1100110 2 · 1100111 2 = 10100100001010 2 .

Dal punto di vista dello studio dei principi di rappresentazione ed elaborazione delle informazioni in un computer, i sistemi discussi (binario, ottale ed esadecimale) sono di grande interesse, sebbene il computer elabori solo i dati convertiti in codice binario (sistema di numerazione binario). Tuttavia, spesso per ridurre il numero di caratteri scritti su carta o immessi dalla tastiera di un computer, è più conveniente utilizzare numeri ottali o esadecimali, soprattutto perché, come verrà mostrato di seguito, la procedura per convertire reciprocamente i numeri da ciascuno di trasformare questi sistemi in binario è molto semplice, molto più semplice delle traduzioni tra uno qualsiasi di questi tre sistemi e il decimale.

Rappresentiamo i numeri di diversi sistemi numerici corrispondenti tra loro:

Decimale	Esadecimale	Ottale	Binario
	UN
	B
	C
	D
	E
	F

La tabella mostra che i numeri del sistema con base 2, 8 e 16 hanno schemi periodici. Pertanto, gli otto valori del sistema ottale, cioè (da 0 a 7 o la base intera) corrispondono a tre cifre ( triadi) sistema binario. Pertanto, per descrivere i numeri di una cifra del sistema ottale, sono necessarie esattamente tre cifre del sistema binario. Lo stesso vale per i numeri esadecimali. Solo la loro descrizione richiede esattamente quattro cifre ( tetradi) sistema binario.

Ne consegue che per convertire qualsiasi numero binario intero in ottale, è necessario dividerlo da destra a sinistra in gruppi di 3 cifre (il gruppo più a sinistra può contenere meno di tre cifre binarie), quindi assegnare a ciascun gruppo il suo equivalente ottale.

Ad esempio, devi convertire 11011001 2 in ottale.

Dividiamo il numero in gruppi di tre cifre 011 2, 011 2 e 001 2. Sostituiamo i numeri corrispondenti del sistema ottale. Otteniamo 3 8, 3 8 e 1 8 o 331 8.

11011001 2 = 331 8 .

I trasferimenti inversi vengono eseguiti in modo simile, ad esempio:

Converti AB5D 16 nel sistema di numerazione binario.

Uno per uno sostituiamo ogni simbolo del numero AB5D 16 con il numero corrispondente del sistema binario. Otteniamo 1010 16, 1011 16, 0101 16 e 1101 16 o 1010101101011101 2.

AB5D 16 = 1010101101011101 2 .

Oltre ai sistemi numerici posizionali discussi sopra, ci sono quelli in cui il significato di un segno non dipende dal posto che occupa nel numero. Tali sistemi numerici sono chiamati non posizionale. L'esempio più famoso di un sistema non posizionale è romano. Questo sistema utilizza 7 caratteri (I, V, X, L, C, D, M), che corrispondono ai seguenti valori:

Regole per scrivere i numeri in numeri romani: – se un numero più grande è davanti a uno più piccolo, allora si sommano (principio di addizione), – se un numero più piccolo è davanti a uno più grande, allora si sottrae quello più piccolo da quello più grande (il principio di sottrazione).

La seconda regola serve per evitare di ripetere lo stesso numero quattro volte. Pertanto, i numeri romani I, X, C si pongono rispettivamente prima di X, C, M per indicare 9, 90, 900 o prima di V, L, D per indicare 4, 40, 400.

Esempi di scrittura dei numeri in numeri romani:

IV = 5 - 1 = 4 (invece di IIII),

XIX = 10 + 10 - 1 = 19 (invece di XVIIII),

XL = 50 - 10 =40 (invece di XXXX),

XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33, ecc.

Va notato che eseguire anche semplici operazioni aritmetiche su numeri a più cifre utilizzando numeri romani è molto scomodo. Probabilmente, la complessità dei calcoli del sistema romano, basato sull'uso delle lettere latine, fu uno dei motivi convincenti per sostituirlo con un sistema decimale più conveniente.

3.1 La base di un sistema numerico si chiama...

Un insieme di tecniche e regole per scrivere numeri in segni o simboli digitali

Numero di cifre utilizzate in uno specifico sistema numerico posizionale

Un divisore utilizzato quando si convertono i numeri da un sistema numerico a un altro

Moltiplicatore totale, quando si convertono i numeri da un sistema numerico a un altro

3.2 Quale sistema numerico non è ampiamente utilizzato nella tecnologia informatica

Ottale

Binario

Quintuplo

Esadecimale

Le operazioni aritmetiche in tutti i sistemi numerici posizionali vengono eseguite secondo le stesse regole. Per effettuare operazioni aritmetiche su numeri rappresentati in diversi sistemi numerici, è necessario prima convertirli in un unico sistema numerico e tenere conto del fatto che il trasferimento alla cifra successiva durante l'operazione di addizione e il prestito dalla cifra più alta durante l'operazione le operazioni di sottrazione sono determinate dal valore della base del sistema numerico.

Le operazioni aritmetiche nel sistema numerico binario si basano su tabelle di addizione, sottrazione e moltiplicazione di numeri binari a una cifra.

Quando si sommano due unità, la cifra eccede e l'unità viene trasferita alla cifra più alta; quando si sottrae 0–1, viene effettuato un prestito dalla cifra più alta nella tabella “Sottrazione”, questo prestito è indicato con una linea sopra; numero (Tabella 3).

Tabella 3

Di seguito sono riportati esempi di esecuzione di operazioni aritmetiche su numeri rappresentati in vari sistemi numerici:

Le operazioni aritmetiche su numeri interi rappresentati in vari sistemi numerici vengono implementate in modo abbastanza semplice utilizzando i programmi Calcolatrice e MS Excel.

1.3. Rappresentare i numeri in un computer

I dati numerici vengono elaborati in un computer utilizzando il sistema di numerazione binario. I numeri vengono archiviati nella memoria del computer in codice binario, ovvero come sequenza di zeri e uno, e possono essere rappresentati in formato a virgola fissa o mobile.

I numeri interi vengono archiviati in memoria in formato a virgola fissa. Con questo formato di rappresentazione dei numeri viene allocato un registro di memoria composto da otto celle di memoria (8 bit) per la memorizzazione di numeri interi non negativi. Ogni cifra di una cella di memoria corrisponde sempre alla stessa cifra del numero e la virgola si trova a destra dopo la cifra meno significativa e all'esterno della griglia delle cifre. Ad esempio, il numero 110011012 verrebbe memorizzato in un registro di memoria come segue:

Tabella 4

Il valore massimo di un numero intero non negativo che può essere memorizzato in un registro in formato a virgola fissa può essere determinato dalla formula: 2n – 1, dove n è il numero di cifre del numero. Il numero massimo sarà uguale a 28 - 1 = 25510 = 111111112 e il minimo 010 = 000000002. Pertanto, l'intervallo di modifiche nei numeri interi non negativi sarà compreso tra 0 e 25510.

A differenza del sistema decimale, il sistema numerico binario nella rappresentazione informatica di un numero binario non ha simboli che indicano il segno del numero: positivo (+) o negativo (-), quindi, per rappresentare gli interi con segno nel sistema binario, due vengono utilizzati i formati di rappresentazione dei numeri: formato del valore numerico con segno e formato del complemento a due. Nel primo caso, vengono allocati due registri di memoria (16 bit) per la memorizzazione degli interi con segno e la cifra più significativa (all'estrema sinistra) viene utilizzata come segno del numero: se il numero è positivo, nel bit di segno viene scritto 0 , se il numero è negativo, allora 1. Ad esempio, il numero 53610 = 00000010000110002 sarà rappresentato nei registri di memoria nella seguente forma:

Tabella 5

e un numero negativo -53610 = 10000010000110002 nella forma:

Tabella 6

Il numero positivo massimo o il numero negativo minimo nel formato del valore numerico con segno (tenendo conto della rappresentazione di una cifra per segno) è 2n-1 – 1 = 216-1 – 1 = 215 – 1 = 3276710 = 1111111111111112 e l'intervallo di numeri sarà compreso tra - 3276710 e 32767.

Molto spesso, per rappresentare numeri interi con segno nel sistema binario, viene utilizzato il formato del codice in complemento a due, che consente di sostituire l'operazione aritmetica di sottrazione in un computer con un'operazione di addizione, che semplifica notevolmente la struttura del microprocessore e ne aumenta le prestazioni .

Per rappresentare gli interi negativi in ​​questo formato, viene utilizzato il codice del complemento a due, che è il modulo di un numero negativo rispetto a zero. La conversione di un numero intero negativo in complemento a due viene eseguita utilizzando le seguenti operazioni:

1) scrivere il modulo del numero in codice diretto in n (n = 16) cifre binarie;

2) ottenere il codice inverso del numero (invertire tutte le cifre del numero, cioè sostituire tutte le unità con zeri e gli zeri con unità);

3) aggiungere uno alla cifra meno significativa al codice inverso risultante.

Ad esempio, per il numero -53610 in questo formato, il modulo sarà 00000010000110002, il codice reciproco sarà 1111110111100111 e il codice aggiuntivo sarà 1111110111101000.

Va ricordato che il complemento di un numero positivo è il numero stesso.

Per memorizzare interi con segno diversi dalla rappresentazione del computer a 16 bit quando utilizzato due registri di memoria(questo formato numerico è anche chiamato formato intero con segno breve), vengono utilizzati i formati intero con segno medio e lungo. Per rappresentare i numeri nel formato numerico medio, vengono utilizzati quattro registri (4 x 8 = 32 bit) e per rappresentare i numeri nel formato numerico lungo, vengono utilizzati otto registri (8 x 8 = 64 bit). Gli intervalli di valori per i formati numerico medio e lungo saranno rispettivamente: -(231 – 1) ... + 231 – 1 e -(263-1) ... + 263 – 1.

La rappresentazione computerizzata dei numeri in formato a virgola fissa presenta vantaggi e svantaggi. A benefici includere la semplicità della rappresentazione dei numeri e degli algoritmi per l'implementazione delle operazioni aritmetiche; gli svantaggi sono l'intervallo finito di rappresentazione dei numeri, che può essere insufficiente per risolvere molti problemi di natura pratica (matematica, economica, fisica, ecc.).

I numeri reali (decimali finiti e infiniti) vengono elaborati e memorizzati in un computer in formato a virgola mobile. Con questo formato di rappresentazione numerica, la posizione del punto decimale nell'immissione può cambiare. Qualsiasi numero reale K in formato a virgola mobile può essere rappresentato come:

dove A è la mantissa del numero; h – base del sistema numerico; p – ordine dei numeri.

L'espressione (2.7) per il sistema di numeri decimali assumerà la forma:

per binario -

per ottale -

per esadecimale -

Questa forma di rappresentazione dei numeri viene anche chiamata normale . Quando si cambia l'ordine, la virgola nel numero si sposta, cioè sembra fluttuare verso sinistra o verso destra. Pertanto, viene chiamata la forma normale di rappresentazione dei numeri forma in virgola mobile. Il numero decimale 15.5, ad esempio, in formato a virgola mobile può essere rappresentato come: 0.155 102; 1,55 101; 15,5 100; 155,0 10-1; 1550.0 10-2 ecc. Questa forma di decimale in virgola mobile 15.5 non viene utilizzata durante la scrittura programmi per computer e inserendoli in un computer (i dispositivi di input del computer percepiscono solo la registrazione lineare dei dati). Sulla base di ciò, l'espressione (2.7) per rappresentare i numeri decimali e inserirli nel computer viene convertita nella forma

dove P è l'ordine del numero,

cioè, invece della base del sistema numerico 10, scrivono la lettera E, invece della virgola, un punto, e il segno di moltiplicazione non viene inserito. Pertanto, il numero 15.5 in formato a virgola mobile e lineare (rappresentazione computerizzata) verrà scritto come: 0.155E2; 1,55E1; 15,5E0; 155.0E-1; 1550.0E-2, ecc.

Indipendentemente dal sistema numerico, qualsiasi numero in virgola mobile può essere rappresentato da un numero infinito di numeri. Questa forma di registrazione si chiama non normalizzato . Per una rappresentazione univoca dei numeri in virgola mobile, viene utilizzata una forma normalizzata di scrittura di un numero, in cui la mantissa del numero deve soddisfare la condizione

dove |A| - il valore assoluto della mantissa del numero.

La condizione (2.9) significa che la mantissa deve essere una frazione propria e avere una cifra diversa da zero dopo la virgola decimale o, in altre parole, se la mantissa non ha uno zero dopo la virgola decimale, allora il numero si dice normalizzato . Quindi, il numero 15.5 in forma normalizzata (mantissa normalizzata) in virgola mobile sarà simile a questo: 0.155 102, cioè la mantissa normalizzata sarà A = 0.155 e ordine P = 2, o nella rappresentazione computerizzata del numero 0.155E2 .

I numeri in virgola mobile hanno un formato fisso e occupano quattro (32 bit) o ​​otto byte (64 bit) della memoria del computer. Se un numero occupa 32 bit nella memoria del computer, allora è un numero a precisione regolare; se è a 64 bit, allora è un numero a precisione doppia; Quando si scrive un numero in virgola mobile, vengono allocati dei bit per memorizzare il segno della mantissa, il segno dell'esponente, la mantissa e l'esponente. Il numero di cifre assegnate all'ordine del numero determina l'intervallo di variazione dei numeri e il numero di cifre assegnate per memorizzare la mantissa determina la precisione con cui viene specificato il numero.

Quando si eseguono operazioni aritmetiche (addizione e sottrazione) su numeri presentati in formato a virgola mobile, viene implementata la seguente procedura (algoritmo):

1) l'ordine dei numeri su cui vengono eseguite le operazioni aritmetiche è allineato (l'ordine di un numero assoluto minore aumenta all'ordine di un numero assoluto maggiore, mentre la mantissa diminuisce della stessa quantità);

2) le operazioni aritmetiche vengono eseguite sulle mantisse dei numeri;

3) il risultato ottenuto è normalizzato.

Addizione e sottrazione

In un sistema con una base, i numeri 0, 1, 2, ..., c - 1 vengono utilizzati per indicare lo zero e i primi numeri naturali c-1. Per eseguire l'operazione di addizione e sottrazione, viene compilata una tabella sommando numeri a una cifra.

Tabella 1 - Addizione nel sistema binario

Ad esempio, una tabella di addizione nel sistema numerico esadecimale:

Tabella 2 - Addizione nel sistema esadecimale

L'addizione di due numeri qualsiasi scritti nel sistema numerico con base c viene eseguita allo stesso modo del sistema decimale, per cifre, a partire dalla prima cifra, utilizzando la tabella di addizione di questo sistema. I numeri da aggiungere vengono firmati uno dopo l'altro in modo che le cifre delle stesse cifre siano verticali. Il risultato dell'addizione è scritto sotto la linea orizzontale tracciata sotto i numeri da aggiungere. Proprio come quando si sommano numeri nel sistema decimale, nel caso in cui sommando cifre in qualsiasi cifra si ottenga un numero a due cifre, l'ultima cifra di questo numero viene scritta come risultato e la prima cifra viene aggiunta al risultato della somma di cifra successiva.

Per esempio,

Puoi giustificare la regola specificata per l'aggiunta di numeri utilizzando la rappresentazione dei numeri nel modulo:

Diamo un'occhiata a un esempio:

3547=3*72+5*71+4*70

2637=2*72+6*71+3*70

(3*72+5*71+4*70) + (2*72+6*71+3*70) =(3+2)*72+(5+6)*7+(3+4)=

5*72+1*72+4*7+7=6*72+4*7+7=6*72+5*7+0=6507

Selezioniamo in sequenza i termini in base alla potenza della base 7, iniziando dalla potenza più bassa, zero.

Anche la sottrazione viene eseguita per cifre, a partire dalla più bassa, e se la cifra del minuendo è inferiore alla cifra del sottraendo, allora un'unità viene “presa” dalla cifra successiva del minuendo e dalla cifra corrispondente del sottraendo viene sottratto dal numero di due cifre risultante; quando si sottraggono le cifre della cifra successiva, in questo caso è necessario ridurre mentalmente la cifra ridotta di uno, ma se questa cifra risulta essere zero (e quindi ridurla è impossibile), allora si dovrebbe "prendere in prestito" una dalla cifra cifra successiva e poi ridurla di uno. Non è necessario creare una tabella speciale per la sottrazione, poiché la tabella delle addizioni fornisce i risultati della sottrazione.

Per esempio,

Moltiplicazione e divisione

Per eseguire le operazioni di moltiplicazione e divisione nel sistema base c, viene compilata una tabella di moltiplicazione per i numeri a una cifra.

Tabella 3 - Moltiplicazione di numeri ad una cifra

Tabella 4 - Moltiplicazione nel sistema numerico esadecimale

La moltiplicazione di due numeri arbitrari in un sistema con base c viene eseguita allo stesso modo del sistema decimale - "colonna", ovvero il moltiplicando viene moltiplicato per la cifra di ciascuna cifra del moltiplicatore (in sequenza) con il successivo aggiunta di questi risultati intermedi.

Per esempio,

Quando si moltiplicano numeri a più cifre nei risultati intermedi, l'indice di base non viene inserito:

La divisione nei sistemi con base c viene eseguita per angolo, proprio come nel sistema numerico decimale. In questo caso vengono utilizzate la tabella di moltiplicazione e la tabella di addizione del sistema corrispondente. La situazione è più complicata se il risultato della divisione non è una frazione c-aria finita (o un numero intero). Quindi, quando si esegue un'operazione di divisione, di solito è necessario isolare la parte non periodica della frazione e il suo periodo. La possibilità di eseguire l'operazione di divisione nel sistema numerico c-ario è utile quando si convertono i numeri frazionari da un sistema numerico a un altro.

Per esempio:

Conversione di numeri da un sistema numerico a un altro

Ci sono molti in vari modi convertire i numeri da un sistema numerico a un altro.

Metodo di divisione

Sia dato il numero N=an an-1. . . a1 a0 r.

Per ottenere una registrazione del numero N in un sistema con base h, esso dovrebbe essere rappresentato nella forma:

N=bmhm+bm-1hm-1+... +b1h+b0 (1)

dove 1

N=bmbm-1... b1boh (2)

Dalla (1) otteniamo:

N= (bmhm-1+...+b)*h +b0 = N1h+b0, dov'è 0? b0?h (3)

Cioè, il numero b0 è il resto della divisione del numero N per il numero h. Quoziente parziale Nl = bmhm-1+ . . . +b1 può essere rappresentato come:

Nl = (bmhm-2 + ... + b2)h + b1 = N2h+b1, dov'è 0? b2?h (4)

Pertanto, la cifra bi nel record (2) del numero N è il resto della divisione del primo quoziente incompleto N1 per la base h del nuovo sistema numerico. Rappresentiamo il secondo quoziente incompleto N2 nella forma:

N2 = (bmhm-3+ ... +b3)h+b2, dov'è 0? b2?h (5)

cioè il numero b2 è il resto della divisione del secondo quoziente incompleto N2 per la base h del nuovo sistema. Poiché i quozienti non completi diminuiscono, questo processo è finito. E poi otteniamo Nm = bm, dove bm

Nm-1 = bmh+bm.1 = Nmh+bm.1

Pertanto, la sequenza di numeri è bm, bm-1. . ,b1,b0 nella notazione del numero N nel sistema numerico in base h è una sequenza di resti della divisione sequenziale del numero N per base h, presa in ordine inverso.

Diamo un'occhiata ad un esempio: converti il ​​numero 123 nel sistema numerico esadecimale:

Pertanto, il numero 12310=7(11)16 o può essere scritto come 7B16

Scriviamo il numero 340227 nel sistema numerico quinario:

Quindi otteniamo 340227=2333315

Diamo un'occhiata alle operazioni aritmetiche di base: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Le regole per eseguire queste operazioni nel sistema decimale sono ben note: addizione, sottrazione, moltiplicazione per colonna e divisione per angolo. Queste regole si applicano a tutti gli altri sistemi numerici posizionali. Devi solo utilizzare tabelle di addizione e moltiplicazione speciali per ciascun sistema.

1. Aggiunta

Le tabelle di addizione sono facili da creare utilizzando le regole di conteggio.

Durante l'aggiunta, i numeri vengono sommati in cifre e, se c'è un eccesso, viene trasferito a sinistra.

Esempio 1. Aggiungiamo i numeri 15 e 6 in diversi sistemi numerici.

Esempio 2. Aggiungiamo i numeri 15, 7 e 3.

Esadecimale : F16+716+316

15+7+3 = 25 10 = 11001 2 = 31 8 = 19 16 . Visita medica: 11001 2 = 2 4 + 2 3 + 2 0 = 16+8+1=25, 31 8 = 3 . 8 1 + 1 . 8 0 = 24 + 1 = 25, 19 16 = 1 . 16 1 + 9 . 16 0 = 16+9 = 25.

Esempio 3. Aggiungiamo i numeri 141,5 e 59,75.

Risposta: 141,5 + 59,75 = 201,25 10 = 11001001,01 2 = 311,2 8 = C9,4 16

Visita medica. Converti gli importi risultanti in forma decimale:

11001001,01 2 = 2 7 + 2 6 + 2 3 + 2 0 + 2 -2 = 201,25

311,2 8 = 3 . 8 2 + 1 . 8 1 + 1 . 8 0 + 2 . 8 -1 = 201,25

C9.4 16 = 12 . 16 1 + 9 . 16 0 + 4 . 16 -1 = 201,25

2. Sottrazione

Sottrazione nel sistema numerico binario minuendo sottraendo 0 1 0 1 prestito	Sottrazione nel sistema numerico esadecimale 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 UN B C D E F 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 UN B C D E F Prendere in prestito un'unità dal grado senior
Sottrazione nel sistema numerico ottale 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7

Prestitounità senior

Esempio 4. Sottrai uno dai numeri 10 2 , 10 8 e 10 16

Esempio 5. Sottrai uno dai numeri 100 2 , 100 8 e 100 16 .

Esempio 6. Sottrai il numero 59,75 dal numero 201,25.

Risposta: 201,25 10 - 59,75 10 = 141,5 10 = 10001101,1 2 = 215,4 8 = 8D,8 16.

Visita medica. Convertiamo le differenze risultanti in forma decimale:

10001101,1 2 = 2 7 + 2 3 + 2 2 + 2 0 + 2 -1 = 141,5;

215,4 8 = 2 . 8 2 + 1 . 8 1 + 5 . 8 0 + 4 . 8 -1 = 141,5;

8D,8 16 = 8 . 161+D . 16 0 + 8 . 16 -1 = 141,5.