Scopo del servizio. Il servizio è progettato per convertire i numeri da un sistema numerico a un altro online. Per fare ciò, seleziona la base del sistema da cui vuoi convertire il numero. È possibile inserire sia numeri interi che numeri con virgole.

È possibile inserire sia numeri interi, ad esempio 34, sia numeri frazionari, ad esempio 637.333. Per i numeri frazionari viene indicata la precisione della traduzione dopo la virgola decimale.

Con questa calcolatrice vengono utilizzati anche i seguenti:

Modi di rappresentare i numeri

Binario numeri (binari) - ogni cifra indica il valore di un bit (0 o 1), il bit più significativo è sempre scritto a sinistra, la lettera “b” è posta dopo il numero. Per facilità di percezione, i quaderni possono essere separati da spazi. Ad esempio, 1010 0101b.
Esadecimale numeri (esadecimali) - ogni tetrade è rappresentato da un simbolo 0...9, A, B, ..., F. Questa rappresentazione può essere designata in diversi modi; qui viene utilizzato solo il simbolo "h" dopo l'ultimo esadecimale cifra. Ad esempio, A5h. Nei testi dei programmi lo stesso numero può essere designato come 0xA5 o 0A5h, a seconda della sintassi del linguaggio di programmazione. Uno zero iniziale (0) viene aggiunto a sinistra della cifra esadecimale più significativa rappresentata dalla lettera per distinguere tra numeri e nomi simbolici.
Decimale numeri (decimali): ogni byte (parola, doppia parola) è rappresentato da un numero regolare e il segno di rappresentazione decimale (la lettera "d") viene solitamente omesso. Il byte negli esempi precedenti ha un valore decimale di 165. A differenza della notazione binaria ed esadecimale, è difficile determinare mentalmente il valore di ciascun bit in decimale, il che a volte è necessario.
Ottale numeri (ottali): ogni tripla di bit (la divisione inizia dal meno significativo) viene scritta come un numero da 0 a 7, con una "o" alla fine. Lo stesso numero verrebbe scritto come 245o. Il sistema ottale è scomodo perché il byte non può essere diviso equamente.

Algoritmo per convertire i numeri da un sistema numerico a un altro

La conversione di numeri decimali interi in qualsiasi altro sistema numerico viene effettuata dividendo il numero per la base del nuovo sistema numerico finché il resto rimane un numero inferiore alla base del nuovo sistema numerico. Il nuovo numero si scrive come resto della divisione, partendo dall'ultimo.
La conversione di una frazione decimale regolare in un altro PSS viene effettuata moltiplicando solo la parte frazionaria del numero per la base del nuovo sistema numerico finché tutti gli zeri rimangono nella parte frazionaria o finché non viene raggiunta la precisione di traduzione specificata. Come risultato di ogni operazione di moltiplicazione, si forma una cifra di un nuovo numero, iniziando da quella più alta.
La traduzione impropria delle frazioni viene eseguita secondo le regole 1 e 2. La parte intera e quella frazionaria si scrivono insieme, separate da una virgola.

Esempio n. 1.



Conversione da 2 a 8 a 16 sistemi numerici.
Questi sistemi sono multipli di due, pertanto la traduzione viene effettuata utilizzando una tabella di corrispondenza (vedi sotto).

Per convertire un numero dal sistema numerico binario al sistema numerico ottale (esadecimale), è necessario dividere il numero binario dal punto decimale a destra e a sinistra in gruppi di tre (quattro per esadecimale) cifre, integrando i gruppi esterni con zeri se necessario. Ogni gruppo viene sostituito dalla corrispondente cifra ottale o esadecimale.

Esempio n.2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272,51 8
qui 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

Quando si converte nel sistema esadecimale, è necessario dividere il numero in parti di quattro cifre, seguendo le stesse regole.
Esempio n.3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 ESAGONALE
qui 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

La conversione dei numeri da 2, 8 e 16 al sistema decimale viene effettuata suddividendo il numero in singole unità e moltiplicandolo per la base del sistema (da cui viene tradotto il numero) elevata alla potenza corrispondente al suo numero seriale in il numero da convertire. In questo caso i numeri vengono numerati a sinistra della virgola (il primo numero è numerato 0) in modo crescente e a destra in modo decrescente (cioè con segno negativo). I risultati ottenuti vengono sommati.

Esempio n.4.
Un esempio di conversione dal sistema numerico binario a quello decimale.

1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Un esempio di conversione dal sistema numerico ottale a quello decimale. 108,5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Un esempio di conversione dal sistema di numerazione esadecimale a decimale. 108,5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10

Ancora una volta ripetiamo l'algoritmo per convertire i numeri da un sistema numerico a un altro PSS

1. Dal sistema numerico decimale:
   • dividere il numero per la base del sistema numerico da tradurre;
   • trova il resto quando dividi una parte intera di un numero;
   • annotare tutti i resti della divisione in ordine inverso;
2. Dal sistema numerico binario
   • Per passare al sistema decimale è necessario trovare la somma dei prodotti di base 2 per il grado di cifra corrispondente;
   • Per convertire un numero in ottale, devi dividere il numero in triadi.
     Ad esempio, 1000110 = 1.000 110 = 106 8
   • Per convertire un numero da binario a esadecimale è necessario dividerlo in gruppi di 4 cifre.
     Ad esempio, 1000110 = 100 0110 = 46 16

Il sistema si chiama posizionale, per il quale il significato o il peso di una cifra dipende dalla sua posizione nel numero. La relazione tra i sistemi è espressa in una tabella.
Tabella di corrispondenza del sistema numerico:

SS binarie	SS esadecimale
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	UN
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

Tabella per la conversione al sistema numerico ottale

Esempio n.2. Converti il ​​numero 100.12 dal sistema numerico decimale al sistema numerico ottale e viceversa. Spiegare le ragioni delle discrepanze.
Soluzione.
Fase 1. .

Scriviamo il resto della divisione in ordine inverso. Otteniamo il numero nell'ottavo sistema numerico: 144
100 = 144 8

Per convertire la parte frazionaria di un numero, moltiplichiamo in sequenza la parte frazionaria per base 8. Di conseguenza, ogni volta annotiamo l'intera parte del prodotto.
0,12*8 = 0,96 (parte intera 0 )
0,96*8 = 7,68 (parte intera 7 )
0,68*8 = 5,44 (parte intera 5 )
0,44*8 = 3,52 (parte intera 3 )
Otteniamo il numero nell'ottavo sistema numerico: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

Fase 2. Conversione di un numero dal sistema numerico decimale al sistema numerico ottale.
Conversione inversa dal sistema numerico ottale a quello decimale.

Per tradurre una parte intera, è necessario moltiplicare la cifra di un numero per il grado della cifra corrispondente.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

Per convertire la parte frazionaria, è necessario dividere la cifra del numero per il grado della cifra corrispondente
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
La differenza di 0,0001 (100,12 - 100,1199) è spiegata da un errore di arrotondamento durante la conversione al sistema numerico ottale. Questo errore può essere ridotto se si prende un numero maggiore di cifre (ad esempio, non 4, ma 8).

L'addizione e la sottrazione di numeri in qualsiasi sistema numerico posizionale viene eseguita bit per bit. Per trovare la somma si sommano le unità della stessa cifra, iniziando dalle unità della prima cifra (a destra). Se la somma delle unità della cifra aggiunta supera il numero uguale alla base del sistema, da questa somma viene selezionata l'unità della cifra più alta, che viene aggiunta alla cifra adiacente a sinistra. Pertanto, l'addizione può essere eseguita direttamente, come nel sistema decimale, in una “colonna”, utilizzando una tabella per l'addizione di numeri a una cifra.

Ad esempio, in un sistema numerico in base 4, la tabella delle addizioni si presenta così:

Ancora più semplice è la tabella delle addizioni nel sistema numerico binario:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 1 = 10.

Esempio:

Sottrazione Lo eseguiamo allo stesso modo del sistema decimale: firmiamo il sottraendo sotto il minuendo e sottraiamo i numeri in cifre, a partire dal primo. Se non è possibile sottrarre gli unità di una cifra, "occupiamo" l'1 nella cifra più alta e lo convertiamo nelle unità della cifra destra adiacente.

Esempio: 2311 4 - 1223 4 . Nella prima cifra non si può sottrarre 3 a 1; “occupiamo” un’unità della seconda cifra; essa contiene quattro unità della prima cifra. Aggiungiamo a loro l'unità esistente della prima cifra, in totale otteniamo cinque unità nella prima cifra - nel sistema quaternario sono scritte come 11. Nella prima cifra sottraiamo tre unità da cinque: 11-3=2. Non sono rimaste unità nella seconda categoria, occupiamo la terza (nella terza rimarranno 2 unità). Una unità della terza categoria contiene 4 unità della seconda. Sottrai nella seconda cifra: 4-2 = 2. Nella terza cifra: 2-2=0. Nella quarta cifra: 2-1=1.

Operazioni aritmetiche nel sistema di numerazione binario

Le regole per eseguire operazioni aritmetiche sui numeri binari sono specificate dalle tabelle di addizione, sottrazione e moltiplicazione.

La regola per eseguire l'operazione di addizione è la stessa per tutti i sistemi numerici: se la somma delle cifre aggiunte è maggiore o uguale alla base del sistema numerico, l'unità viene trasferita alla cifra successiva a sinistra. Quando si sottrae, se necessario, fare un prestito.

Le operazioni aritmetiche vengono eseguite in modo simile nei sistemi ottale, esadecimale e in altri sistemi numerici. È necessario tenere conto del fatto che l'importo del trasferimento alla cifra successiva durante l'aggiunta e il prestito dalla cifra più alta durante la sottrazione è determinato dal valore della base del sistema numerico.

Operazioni aritmetiche nel sistema numerico ottale

Per rappresentare i numeri nel sistema numerico ottale, vengono utilizzate otto cifre (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), poiché la base del sistema numerico ottale è 8. Tutte le operazioni vengono eseguite utilizzando queste otto cifre. Le operazioni di addizione e moltiplicazione nel sistema numerico ottale vengono eseguite utilizzando le seguenti tabelle:

Tabelle di addizione e moltiplicazione nel sistema numerico ottale

Esempio 5.Sottrai i numeri ottali 5153- 1671 e 2426.63- 1706.71

Esempio 6. Moltiplicare i numeri ottali 51 16 e 16,6 3.2

Operazioni aritmetiche nel sistema numerico esadecimale

Per rappresentare i numeri nel sistema esadecimale, vengono utilizzate sedici cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Nel sistema esadecimale , il numero sedici si scrive 10. L'esecuzione di operazioni aritmetiche nel sistema esadecimale è la stessa che nel sistema decimale, ma quando si eseguono operazioni aritmetiche su numeri grandi, è necessario utilizzare tabelle per aggiungere e moltiplicare i numeri nel sistema numerico esadecimale.

Tabella di addizione nel sistema numerico esadecimale

Tavola pitagorica nel sistema numerico esadecimale

Esempio 7.Aggiungi numeri esadecimali

Nota:
Puoi eseguire azioni solo in un sistema numerico; se ti vengono forniti sistemi numerici diversi, converti prima tutti i numeri in un sistema numerico
Se stai lavorando con un sistema numerico la cui base è maggiore di 10 e nel tuo esempio hai una lettera, sostituiscila mentalmente con un numero nel sistema decimale, esegui le operazioni necessarie e riconverti il ​​risultato nel sistema numerico originale

Aggiunta:
Tutti ricordano come alle elementari ci veniva insegnato a sommare in una colonna, luogo per luogo. Se, sommando una cifra, si otteneva un numero maggiore di 9, ne sottraevamo 10, il risultato risultante veniva annotato nella risposta e 1 veniva aggiunto alla cifra successiva. Da ciò possiamo formulare una regola:

1. È più conveniente piegare in una “colonna”
2. Sommando luogo per luogo, se la cifra nel luogo > è maggiore della cifra più grande dell'alfabeto di un dato sistema numerico, sottraiamo la base del sistema numerico da questo numero.
3. Scriviamo il risultato nella categoria richiesta
4. Aggiungi uno alla cifra successiva

Esempio:

Aggiungi 1001001110 e 100111101 nel sistema numerico binario

1001001110

100111101

1110001011

Risposta: 1110001011

Aggiungi F3B e 5A in notazione esadecimale

FE0

Risposta: FE0

Sottrazione: Tutti ricordano come alle scuole elementari ci veniva insegnato a sottrarre per colonna, valore posizionale da valore posizionale. Se, durante la sottrazione di una cifra, è stato ottenuto un numero inferiore a 0, ne abbiamo "preso in prestito" uno dalla cifra più alta e abbiamo aggiunto 10 alla cifra desiderata e abbiamo sottratto quello richiesto dal nuovo numero. Da ciò possiamo formulare una regola:

1. È più conveniente sottrarre in una “colonna”
2. Sottrarre placewise se la cifra è a posto< 0, вычитаем из старшего разряда 1, а к нужному разряду прибавляем основание системы счисления.
3. Eseguiamo la sottrazione

Esempio:

Sottrarre il numero 100111101 da 1001001110 nel sistema numerico binario

1001001110

100111101

100010001

Risposta: 100010001

Sottrai 5A da F3B in notazione esadecimale

D96

Risposta: D96

Soprattutto, non dimenticare che hai a tua disposizione solo numeri di un determinato sistema numerico e non dimenticare le transizioni tra i termini delle cifre.
Moltiplicazione:

La moltiplicazione in altri sistemi numerici avviene esattamente nello stesso modo in cui siamo abituati a moltiplicare.

1. È più conveniente moltiplicare in “colonna”
2. La moltiplicazione in qualsiasi sistema numerico segue le stesse regole del sistema decimale. Ma possiamo usare solo l'alfabeto, dato sistema resa dei conti stimata

Esempio:

Moltiplica 10111 per 1101 nel sistema numerico binario

10111

1101

10111

10111

10111

100101011

Risposta: 100101011

Moltiplica F3B per il numero A in notazione esadecimale

F3B

984E

Risposta: 984E

Risposta: 984E

Soprattutto, non dimenticare che hai a tua disposizione solo numeri di un determinato sistema numerico e non dimenticare le transizioni tra i termini delle cifre.

Divisione:

La divisione in altri sistemi numerici avviene esattamente nello stesso modo in cui siamo abituati a dividere.

1. È più conveniente dividere in “colonna”
2. La divisione in qualsiasi sistema numerico segue le stesse regole del sistema decimale. Ma possiamo usare solo l'alfabeto dato dal sistema numerico

Esempio:

Dividere 1011011 per 1101 nel sistema numerico binario

Dividere F3 B per il numero 8 nel sistema numerico esadecimale

Soprattutto, non dimenticare che hai a tua disposizione solo numeri di un determinato sistema numerico e non dimenticare le transizioni tra i termini delle cifre.

NON POSIZIONALE

Sistemi numerici non posizionali

I sistemi numerici non posizionali sono apparsi storicamente per primi. In questi sistemi il significato di ciascun carattere digitale è costante e non dipende dalla sua posizione. Il caso più semplice di sistema non posizionale è il sistema di unità, per il quale per denotare i numeri viene utilizzato un unico simbolo, solitamente una barra, a volte un punto, di cui viene sempre posizionata la quantità corrispondente al numero designato:

• 1 - |
• 2 - ||
• 3 - |||, ecc.

Quindi questo personaggio ha un significato unità, da cui si ottiene per addizione successiva il numero richiesto:

||||| = 1+1+1+1+1 = 5.

Una modifica del sistema di unità è il sistema con base, in cui sono presenti simboli non solo per designare l'unità, ma anche per i gradi della base. Ad esempio, se si prende come base il numero 5, allora ci saranno simboli aggiuntivi per indicare 5, 25, 125 e così via.

Un esempio di tale sistema a base 10 è quello dell'antico Egitto, sorto nella seconda metà del terzo millennio a.C. Questo sistema aveva i seguenti geroglifici:

• polo - unità,
• arco - decine,
• foglia di palma - centinaia,
• fiore di loto - migliaia.

I numeri sono stati ottenuti per semplice addizione; l'ordine potrebbe essere qualsiasi. Quindi, per designare, ad esempio, il numero 3815, furono disegnati tre fiori di loto, otto foglie di palma, un arco e cinque pali. Sistemi più complessi con segni aggiuntivi: greco antico, romano. Anche quello romano utilizza un elemento del sistema posizionale: si aggiunge un numero più grande davanti a uno più piccolo, si sottrae uno più piccolo davanti a uno più grande: IV = 4, ma VI = 6, questo metodo, tuttavia, si usa esclusivamente per denotare i numeri 4, 9, 40, 90, 400 , 900, 4000 e i loro derivati ​​per addizione.

I sistemi greco moderno e russo antico utilizzavano 27 lettere dell'alfabeto come numeri, dove indicavano ciascun numero da 1 a 9, nonché decine e centinaia. Questo approccio ha permesso di scrivere i numeri da 1 a 999 senza ripetere i numeri.

Nel vecchio sistema russo, per indicare i numeri grandi venivano utilizzate cornici speciali attorno ai numeri.

Il sistema di numerazione non posizionale è ancora utilizzato quasi ovunque come sistema di numerazione verbale. I sistemi di numerazione verbale sono fortemente legati alla lingua e i loro elementi comuni si riferiscono principalmente ai principi generali e ai nomi dei grandi numeri (trilioni e oltre). I principi generali alla base delle moderne numerazioni verbali implicano la formazione di designazioni attraverso l'addizione e la moltiplicazione dei significati dei nomi univoci.

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Lezione 15
§12. Operazioni aritmetiche nei sistemi numerici posizionali

Operazioni aritmetiche nei sistemi numerici posizionali

Operazioni aritmetiche nei sistemi numerici posizionali con base Q vengono eseguiti secondo regole simili a quelle vigenti nel sistema di numerazione decimale.

Nella scuola elementare si utilizzano le tabelle di addizione e moltiplicazione per insegnare ai bambini a contare. Tabelle simili possono essere compilate per qualsiasi sistema di numerazione posizionale.

12.1. Addizione di numeri nel sistema numerico con base q

Considera esempi di tabelle di addizione nei sistemi numerici ternario (Tabella 3.2), ottale (Tabella 3.4) ed esadecimale (Tabella 3.3).

Tabella 3.2

Addizione nel sistema di numerazione ternario

Tabella 3.3

Addizione nel sistema numerico esadecimale

Tabella 3.4

Addizione nel sistema numerico ottale

Q ottenere l'importo S due numeri UN E B, è necessario sommare in cifre le cifre che le compongono io da destra a sinistra:

Se a i + b i< q, то s i = a i + b i , старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
se a i + b i ≥ q, allora s i = a i + b i - q, la cifra più significativa (i + 1) viene aumentata di 1.

Esempi:

12.2. Sottrazione di numeri nel sistema numerico base q

Quindi in un sistema numerico con una base Q ottieni la differenza R due numeri UN E IN, è necessario calcolare le differenze tra le cifre formandole per cifre io da destra a sinistra:

Se a i ≥ b i, allora r i = a i - b i, la cifra più significativa (i + 1) non cambia;
se un i< b i , то r i = a i - b i + g, старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1 (выполняется заём в старшем разряде).