Účel služby. Služba je určená na prevod čísel z jedného číselného systému do druhého online. Ak to chcete urobiť, vyberte základňu systému, z ktorej chcete číslo previesť. Môžete zadať celé čísla aj čísla s čiarkami.

Môžete zadať celé čísla, napríklad 34, aj zlomkové čísla, napríklad 637.333. Pri zlomkových číslach sa uvádza presnosť prekladu za desatinnou čiarkou.

S touto kalkulačkou sa používajú aj nasledujúce položky:

Spôsoby reprezentácie čísel

Binárne (binárne) čísla - každá číslica znamená hodnotu jedného bitu (0 alebo 1), najvýznamnejší bit sa píše vždy vľavo, za číslom sa umiestňuje písmeno „b“. Pre ľahšie vnímanie je možné zošity oddeliť medzerami. Napríklad 1010 0101b.
Hexadecimálne (hexadecimálne) čísla - každá tetráda je reprezentovaná jedným symbolom 0...9, A, B, ..., F. Toto znázornenie môže byť označené rôznymi spôsobmi, tu sa za posledným hexadecimálnym číslom používa iba symbol „h“. číslica. Napríklad A5h. V programových textoch môže byť rovnaké číslo označené buď ako 0xA5 alebo 0A5h, v závislosti od syntaxe programovacieho jazyka. Naľavo od najvýznamnejšej hexadecimálnej číslice reprezentovanej písmenom sa pridá úvodná nula (0), aby sa rozlišovali čísla a symbolické názvy.
Desatinné (desatinné) čísla - každý bajt (slovo, dvojité slovo) je reprezentované bežným číslom a znak desatinného vyjadrenia (písmeno „d“) sa zvyčajne vynecháva. Bajt v predchádzajúcich príkladoch má desiatkovú hodnotu 165. Na rozdiel od binárneho a hexadecimálneho zápisu je v desiatkovej sústave ťažké mentálne určiť hodnotu každého bitu, čo je niekedy nevyhnutné.
Octal (osmičkové) čísla - každá trojica bitov (delenie začína od najmenej významného) sa zapisuje ako číslo 0–7 s „o“ na konci. Rovnaké číslo by bolo napísané ako 245o. Osmičková sústava je nepohodlná, pretože bajt nemožno rozdeliť rovnomerne.

Algoritmus na prevod čísel z jedného číselného systému do druhého

Prevod celých desatinných čísel do akejkoľvek inej číselnej sústavy sa vykonáva delením čísla základom novej číselnej sústavy, až kým zvyšok nezostane číslo menšie ako základ novej číselnej sústavy. Nové číslo sa zapíše ako zvyšok po delení, začínajúc od posledného.
Prevod bežného desatinného zlomku na iný PSS sa vykonáva vynásobením iba zlomkovej časti čísla základom nového číselného systému, kým všetky nuly nezostanú v zlomkovej časti alebo kým sa nedosiahne špecifikovaná presnosť prekladu. V dôsledku každej operácie násobenia sa vytvorí jedna číslica nového čísla, počnúc najvyšším.
Nesprávny preklad zlomkov sa vykonáva podľa pravidiel 1 a 2. Celé číslo a zlomkové časti sa píšu spolu, oddelené čiarkou.

Príklad č.1.



Prevod z 2 na 8 na 16 číselný systém.
Tieto systémy sú násobky dvoch, preto sa preklad vykonáva pomocou tabuľky zhody (pozri nižšie).

Na prevod čísla z dvojkovej číselnej sústavy do osmičkovej (šestnástkovej) číselnej sústavy je potrebné rozdeliť dvojkové číslo z desatinnej čiarky doprava a doľava do skupín po troch (štyri pre šestnástkovú sústavu) a doplniť vonkajšie skupiny. v prípade potreby s nulami. Každá skupina je nahradená zodpovedajúcou osmičkovou alebo hexadecimálnou číslicou.

Príklad č.2. 1010111010,1011 = 1,010,111,010,101,1 = 1272,51 8
tu 001=1; 010=2; 111 = 7; 010=2; 101 = 5; 001=1

Pri prevode do šestnástkovej sústavy musíte číslo rozdeliť na časti pozostávajúce zo štyroch číslic podľa rovnakých pravidiel.
Príklad č.3. 1010111010,1011 = 10,1011,1010,1011 = 2B12,13 HEX
tu 0010=2; 1011 = B; 1010 = 12; 1011=13

Prevod čísel z 2, 8 a 16 do desiatkovej sústavy sa vykonáva tak, že sa číslo rozdelí na jednotlivé a vynásobí sa základňou sústavy (z ktorej sa číslo prekladá) umocnenou na mocninu zodpovedajúcu jeho poradovému číslu v prevádzané číslo. V tomto prípade sa čísla číslujú naľavo od desatinnej čiarky (prvé číslo je číslované 0) so stúpajúcim a napravo od desatinnej čiarky (t. j. so záporným znamienkom). Získané výsledky sa sčítajú.

Príklad č.4.
Príklad prevodu z dvojkovej do desiatkovej číselnej sústavy.

1010010,101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 - 3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Príklad prevodu z osmičkovej do desiatkovej číselnej sústavy. 108,5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Príklad prevodu zo šestnástkovej do desiatkovej číselnej sústavy. 108,5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10

Ešte raz zopakujeme algoritmus na prevod čísel z jednej číselnej sústavy do inej PSS

1. Zo sústavy desiatkových čísel:
   • vydeliť číslo základom prekládaného číselného systému;
   • nájsť zvyšok pri delení celej časti čísla;
   • zapíšte si všetky zvyšky z delenia v opačnom poradí;
2. Z dvojkovej číselnej sústavy
   • Na prevod do desiatkovej číselnej sústavy je potrebné nájsť súčet súčinov základu 2 zodpovedajúcim stupňom číslice;
   • Ak chcete previesť číslo na osmičkovú, musíte číslo rozdeliť na triády.
     Napríklad 1 000 110 = 1 000 110 = 106 8
   • Ak chcete previesť číslo z binárneho na hexadecimálne, musíte číslo rozdeliť do skupín po 4 číslice.
     Napríklad 1000110 = 100 0110 = 46 16

Systém sa nazýva polohový, u ktorých význam alebo váha číslice závisí od jej umiestnenia v čísle. Vzťah medzi systémami je vyjadrený v tabuľke.
Tabuľka zhody číselného systému:

Binárne SS	Hexadecimálne SS
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

Tabuľka na prevod do osmičkovej číselnej sústavy

Príklad č.2. Preveďte číslo 100,12 z desiatkovej číselnej sústavy do osmičkovej číselnej sústavy a naopak. Vysvetlite dôvody nezrovnalostí.
Riešenie.
1. fáza .

Zvyšok delenia píšeme v opačnom poradí. Dostaneme číslo v 8. číselnej sústave: 144
100 = 144 8

Na prevod zlomkovej časti čísla postupne vynásobíme zlomkovú časť základom 8. Výsledkom je, že zakaždým zapíšeme celú časť súčinu.
0,12*8 = 0,96 (celočíselná časť 0 )
0,96*8 = 7,68 (celočíselná časť 7 )
0,68*8 = 5,44 (celočíselná časť 5 )
0,44*8 = 3,52 (celočíselná časť 3 )
Dostaneme číslo v 8. číselnej sústave: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

2. fáza Prevod čísla z desiatkovej číselnej sústavy do osmičkovej číselnej sústavy.
Spätná konverzia z osmičkovej číselnej sústavy na desiatkovú.

Ak chcete preložiť časť celého čísla, musíte vynásobiť číslicu čísla zodpovedajúcim stupňom číslice.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

Ak chcete previesť zlomkovú časť, musíte rozdeliť číslicu čísla zodpovedajúcim stupňom číslice
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
Rozdiel 0,0001 (100,12 - 100,1199) sa vysvetľuje chybou zaokrúhľovania pri prevode do osmičkovej číselnej sústavy. Táto chyba sa dá znížiť, ak vezmete väčší počet číslic (napríklad nie 4, ale 8).

Sčítanie a odčítanie čísel v ľubovoľnej pozičnej číselnej sústave sa vykonáva po bitoch. Na nájdenie súčtu sa pridajú jednotky rovnakej číslice, počnúc jednotkami prvej číslice (vpravo). Ak súčet jednotiek pridanej číslice presahuje číslo rovné základu sústavy, potom sa z tohto súčtu vyberie jednotka najvyššej číslice, ktorá sa pripočíta k susednej číslici vľavo. Preto je možné sčítanie vykonať priamo, ako v desiatkovej sústave, v „stĺpci“ pomocou tabuľky na sčítanie jednociferných čísel.

Napríklad v základnom 4 číselnom systéme vyzerá sčítacia tabuľka takto:

Ešte jednoduchšia je sčítacia tabuľka v binárnej číselnej sústave:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 1 = 10.

Príklad:

Odčítanie Vykonávame to rovnakým spôsobom ako v desiatkovej sústave: podpíšeme subtrahend pod minuend a odčítame čísla v číslicach, počnúc prvým. Ak odčítanie jednotiek v číslici nie je možné, „obsadíme“ 1 v najvyššej číslici a prevedieme ju na jednotky susednej pravej číslice.

Príklad: 2311 4 - 1223 4 . V prvej číslici nemožno od 1 odpočítať 3, „zaberáme“ jednotku druhej číslice, tá obsahuje štyri jednotky prvej číslice. Pripočítame k nim existujúcu jednotku prvej číslice, celkovo dostaneme päť jednotiek v prvej číslici - v kvartérnej sústave sa píšu ako 11. V prvej číslici odpočítame tri jednotky od piatich jednotiek: 11-3=2. V druhej kategórii nezostali žiadne jednotky, my obsadzujeme tretiu (v tretej zostanú 2 jednotky). Jednotka tretej kategórie obsahuje 4 jednotky druhej kategórie. Odčítajte druhú číslicu: 4-2 = 2. V tretej číslici: 2-2=0. Vo štvrtej číslici: 2-1=1.

Aritmetické operácie v dvojkovej číselnej sústave

Pravidlá pre vykonávanie aritmetických operácií s binárnymi číslami sú špecifikované tabuľkami sčítania, odčítania a násobenia.

Pravidlo na vykonanie operácie sčítania je rovnaké pre všetky číselné sústavy: ak je súčet sčítaných číslic väčší alebo rovný základu číselnej sústavy, potom sa jednotka prenesie na ďalšiu číslicu vľavo. Pri odpočítaní v prípade potreby urobte pôžičku.

Aritmetické operácie sa vykonávajú podobne v osmičkových, šestnástkových a iných číselných sústavách. Je potrebné vziať do úvahy, že výška prevodu na ďalšiu číslicu pri sčítaní a požičaní od najvyššej číslice pri odčítaní je určená hodnotou základu číselnej sústavy.

Aritmetické operácie v osmičkovej číselnej sústave

Na znázornenie čísel v osmičkovej číselnej sústave sa používa osem číslic (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), keďže základom osmičkovej číselnej sústavy je 8. Všetky operácie sa vykonávajú pomocou týchto ôsmich číslic. Operácie sčítania a násobenia v osmičkovom číselnom systéme sa vykonávajú pomocou nasledujúcich tabuliek:

Tabuľky sčítania a násobenia v osmičkovej číselnej sústave

Príklad 5.Odčítajte osmičkové čísla 5153- 1671 a 2426,63- 1706,71

Príklad 6. Násobenie osmičkových čísel 51 16 a 16,6 3.2

Aritmetické operácie v hexadecimálnej číselnej sústave

Na znázornenie čísel v šestnástkovej sústave čísel sa používa šestnásť číslic: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. V šestnástkovej sústave , číslo šestnásť sa píše ako 10. Vykonávanie aritmetických operácií v šestnástkovej sústave je rovnaké ako v desiatkovej sústave, ale pri vykonávaní aritmetických operácií na veľkých číslach je potrebné použiť tabuľky na sčítanie a násobenie čísel v šestnástkovej sústave.

Sčítacia tabuľka v hexadecimálnej číselnej sústave

Násobiteľská tabuľka v hexadecimálnej číselnej sústave

Príklad 7. Pridajte hexadecimálne čísla

Poznámka:
Akcie môžete vykonávať iba v jednej číselnej sústave, ak máte rôzne číselné sústavy, najskôr preveďte všetky čísla do jednej číselnej sústavy
Ak pracujete s číselnou sústavou, ktorej základ je väčší ako 10 a máte vo svojom príklade písmeno, v duchu ho nahraďte číslom v desiatkovej sústave, vykonajte potrebné operácie a preveďte výsledok späť do pôvodnej číselnej sústavy.

Doplnenie:
Každý si pamätá, ako nás na základnej škole učili sčítať v stĺpci miesto po mieste. Ak pri sčítaní číslice vyšlo číslo väčšie ako 9, odčítali sme od neho 10, výsledný výsledok sa zapísal do odpovede a k ďalšej číslici sa pridala 1. Z toho môžeme sformulovať pravidlo:

1. Je pohodlnejšie zložiť „stĺpec“
2. Sčítanie po mieste, ak je číslica na mieste > väčšia ako najväčšia číslica abecedy danej číselnej sústavy, od tohto čísla odčítame základ číselnej sústavy.
3. Výsledok zapíšeme do požadovanej kategórie
4. Pridajte jednu k ďalšej číslici

Príklad:

Pridajte 1001001110 a 100111101 v binárnom číselnom systéme

1001001110

100111101

1110001011

Odpoveď: 1110001011

Pridajte F3B a 5A v hexadecimálnom formáte

FE0

Odpoveď: FE0

Odčítanie: Každý si pamätá, ako nás na základnej škole učili odčítať podľa stĺpca, hodnotu miesta od hodnoty miesta. Ak sa pri odčítaní číslice získalo číslo menšie ako 0, potom sme si „požičali“ jedno od najvyššej číslice a k požadovanej číslici sme pridali 10 a od nového čísla odpočítali požadované číslo. Z toho môžeme sformulovať pravidlo:

1. Je pohodlnejšie odčítať v „stĺpci“
2. Odčítanie po mieste, ak je číslica na mieste< 0, вычитаем из старшего разряда 1, а к нужному разряду прибавляем основание системы счисления.
3. Vykonávame odčítanie

Príklad:

Odčítajte číslo 100111101 od 1001001110 v systéme binárnych čísel

1001001110

100111101

100010001

Odpoveď: 100010001

Odčítajte 5A od F3B v hexadecimálnom zápise

D96

Odpoveď: D96

Hlavne nezabúdajte, že máte k dispozícii len čísla danej číselnej sústavy a taktiež nezabudnite na prechody medzi cifernými členmi.
Násobenie:

Násobenie v iných číselných sústavách prebieha presne tak, ako sme zvyknutí na násobenie.

1. Je pohodlnejšie násobiť v „stĺpci“
2. Násobenie v ľubovoľnej číselnej sústave sa riadi rovnakými pravidlami ako v desiatkovej sústave. Ale môžeme použiť iba abecedu, daný systém mŕtve zúčtovanie

Príklad:

Vynásobte 10111 x 1101 v binárnom číselnom systéme

10111

1101

10111

10111

10111

100101011

Odpoveď: 100101011

Vynásobte F3B číslom A v hexadecimálnom zápise

F3B

984E

Odpoveď: 984E

Odpoveď: 984E

Hlavne nezabúdajte, že máte k dispozícii len čísla danej číselnej sústavy a taktiež nezabudnite na prechody medzi cifernými členmi.

divízia:

Delenie v iných číselných sústavách prebieha presne rovnakým spôsobom, ako sme zvyknutí na delenie.

1. Je pohodlnejšie rozdeliť do „stĺpca“
2. Delenie v ľubovoľnej číselnej sústave sa riadi rovnakými pravidlami ako v desiatkovej sústave. Ale môžeme použiť iba abecedu danú číselným systémom

Príklad:

Vydeľte 1011011 číslom 1101 v binárnom číselnom systéme

Rozdeliť F 3 B pre číslo 8 v hexadecimálnej číselnej sústave

Hlavne nezabúdajte, že máte k dispozícii len čísla danej číselnej sústavy a taktiež nezabudnite na prechody medzi cifernými členmi.

NEPOLOHOVÉ

Nepozičné číselné sústavy

Nepozičné číselné sústavy sa objavili historicky ako prvé. V týchto systémoch je význam každého digitálneho znaku konštantný a nezávisí od jeho polohy. Najjednoduchším prípadom nepolohovej sústavy je jednotková sústava, pre ktorú sa na označenie čísel používa jeden symbol, zvyčajne čiarka, niekedy bodka, z ktorých je vždy umiestnená veličina zodpovedajúca určenému číslu:

• 1 - |
• 2 - ||
• 3 - ||| atď.

Takže táto jedna postava má význam Jednotky, z ktorých sa požadovaný počet získa postupným pridávaním:

||||| = 1+1+1+1+1 = 5.

Modifikáciou systému jednotiek je systém so základňou, v ktorej sú symboly nielen na označenie jednotky, ale aj pre stupne základne. Napríklad, ak sa za základ berie číslo 5, potom budú existovať ďalšie symboly na označenie 5, 25, 125 atď.

Príkladom takéhoto systému so základňou 10 je staroegyptský, ktorý vznikol v druhej polovici tretieho tisícročia pred Kristom. Tento systém mal nasledujúce hieroglyfy:

• pólové jednotky,
• oblúk - desiatky,
• palmový list - stovky,
• lotosový kvet - tisíce.

Čísla boli získané jednoduchým sčítaním, poradie môže byť ľubovoľné. Napríklad na označenie čísla 3815 boli nakreslené tri lotosové kvety, osem palmových listov, jeden oblúk a päť tyčí. Zložitejšie systémy s doplnkovými znakmi - starogrécky, rímsky. Rímska využíva aj prvok pozičného systému - väčšie číslo pred menším sa sčíta, menšie pred väčším sa odčíta: IV = 4, ale VI = 6, táto metóda však sa používa výlučne na označenie číslic 4, 9, 40, 90, 400 , 900, 4000 a ich derivátov sčítaním.

Moderné grécke a staroveké ruské systémy používali ako čísla 27 písmen abecedy, kde označovali každé číslo od 1 do 9, ako aj desiatky a stovky. Tento prístup umožnil písať čísla od 1 do 999 bez opakovania čísel.

V starom ruskom systéme sa na označenie veľkých čísel používali špeciálne rámy okolo čísel.

Nepozičný systém číslovania sa stále používa takmer všade ako slovný systém číslovania. Systémy slovného číslovania sú silne viazané na jazyk a ich spoločné prvky sa týkajú najmä všeobecných princípov a názvov veľkých čísel (bilión a viac). Všeobecné princípy, ktoré sú základom moderného slovného číslovania, zahŕňajú vytváranie označení pomocou pridávania a násobenia významov jedinečných mien.

| informatika a informačné a komunikačné technológie | Plánovanie lekcie a materiály lekcie | 10. ročník | Plánovanie hodín na akademický rok (FSES) | Aritmetické operácie v pozičných číselných sústavách

Lekcia 15
§12. Aritmetické operácie v pozičných číselných sústavách

Aritmetické operácie v pozičných číselných sústavách

Aritmetické operácie v pozičných číselných sústavách so základom q sa vykonávajú podľa pravidiel podobných pravidlám platným v sústave desiatkových čísel.

Na základnej škole sa pomocou sčítacích a násobilkových tabuliek učia deti počítať. Podobné tabuľky je možné zostaviť pre akúkoľvek pozičnú číselnú sústavu.

12.1. Sčítanie čísel v číselnej sústave so základom q

Zvážte príklady sčítacích tabuliek v ternárnych (tabuľka 3.2), osmičkových (tabuľka 3.4) a hexadecimálnych (tabuľka 3.3) číselných sústavách.

Tabuľka 3.2

Sčítanie v ternárnej číselnej sústave

Tabuľka 3.3

Sčítanie v hexadecimálnej číselnej sústave

Tabuľka 3.4

Sčítanie v osmičkovej číselnej sústave

q získať sumu S dve čísla A A B, musíte sčítať číslice, ktoré ich tvoria, číslicami i sprava doľava:

Ak a i + b i< q, то s i = a i + b i , старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
ak a i + b i ≥ q, potom s i = a i + b i - q, najvýznamnejšia (i + 1) číslica sa zvýši o 1.

Príklady:

12.2. Odčítanie čísel v základnej q číselnej sústave

Teda v číselnej sústave so základom q získať rozdiel R dve čísla A A IN, je potrebné vypočítať rozdiely medzi číslicami, ktoré ich tvoria číslicami i sprava doľava:

Ak a i ≥ b i, potom r i = a i - b i, najvýznamnejšia (i + 1) číslica sa nemení;
ak i< b i , то r i = a i - b i + g, старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1 (выполняется заём в старшем разряде).